Twee breuke is ekwivalent as hulle dieselfde waarde het. Om te weet hoe om breuke in hul ekwivalente vorme om te skakel, is 'n uiters belangrike wiskundige vaardigheid wat nodig is vir alle vorme van wiskunde, van basiese algebra tot gevorderde berekening. Hierdie artikel bied verskeie maniere om ekwivalente breuke te bereken van basiese vermenigvuldiging en deling tot meer komplekse maniere om ekwivalente breukvergelykings op te los.
Stap
Metode 1 van 5: Rangskikking van ekwivalente breuke
Stap 1. Vermenigvuldig die teller en noemer met dieselfde nommer
Twee verskillende, maar ekwivalente breuke het per definisie 'n teller en noemer wat veelvoude van mekaar is. Met ander woorde, vermenigvuldiging van die teller en noemer van 'n breuk met dieselfde getal sal ekwivalente breuke oplewer. Alhoewel die getalle in die nuwe breuk anders sal wees, sal die breuke dieselfde waarde hê.
- Byvoorbeeld, as ons die breuk 4/8 neem en die teller en noemer met 2 vermenigvuldig, kry ons (4 × 2)/(8 × 2) = 8/16. Hierdie twee breuke is ekwivalent.
- (4 × 2)/(8 × 2) is eintlik dieselfde as 4/8 × 2/2. Onthou dat as ons twee breuke vermenigvuldig, ons reguit vermenigvuldig, wat beteken die teller met die teller en die noemer met die noemer.
- Let daarop dat 2/2 gelyk is aan 1 as u die afdeling doen. Dit is dus makliker om te verstaan waarom 4/8 en 8/16 ekwivalent is omdat die vermenigvuldiging van 4/8 × (2/2) = 4/8 bly. Op dieselfde manier is dit dieselfde as om te sê 4/8 = 8/16.
- Elke gegewe breuk het 'n oneindige aantal ekwivalente breuke. U kan beide die teller en die noemer vermenigvuldig met 'n heelgetal, ongeag die grootte of klein, om 'n ekwivalente breuk te kry.
Stap 2. Verdeel die teller en noemer met dieselfde nommer
Net soos vermenigvuldiging, kan deling ook gebruik word om 'n nuwe breuk te vind wat gelykstaande is aan u oorspronklike breuk. Deel net die teller en noemer van 'n breuk met dieselfde getal om die ekwivalente breuk te kry. Daar is een nadeel aan hierdie proses: die finale breuk moet heelgetalle in die teller sowel as die noemer hê om waar te wees.
Kom ons kyk byvoorbeeld terug na 4/8. As ons die teller en die noemer in plaas van te vermenigvuldig met 2, kry ons (4 2)/(8 2) = 2/4. 2 en 4 is heelgetalle, dus is hierdie ekwivalente breuke waar
Metode 2 van 5: Gebruik basiese vermenigvuldiging om gelykheid te bepaal
Stap 1. Vind die getal wat vermenigvuldig moet word met die kleiner noemer om die groter noemer te kry
Baie probleme oor breuke behels die bepaling of twee breuke ekwivalent is. Deur hierdie getal te bereken, kan u die breukterme begin gelykstel om gelykheid te bepaal.
- Hergebruik byvoorbeeld die breuke 4/8 en 8/16. Die kleiner noemer is 8 en ons moet die getal met 2 vermenigvuldig om die groter noemer te kry, wat 16 is. Dus is die getal in hierdie geval 2.
- Vir moeiliker getalle kan u die groter noemer deur die kleiner noemer deel. In hierdie geval word 16 gedeel deur 8, wat steeds 2 oplewer.
- Die getal is nie altyd 'n heelgetal nie. Byvoorbeeld, as die noemer 2 en 7 is, dan is die getal 3, 5.
Stap 2. Vermenigvuldig die teller en noemer van die breuk wat die kleiner term het met die getal van die eerste stap
Twee verskillende, maar ekwivalente breuke het per definisie teller en noemer wat veelvoude van mekaar is. Met ander woorde, vermenigvuldiging van die teller en noemer van 'n breuk met dieselfde getal sal 'n ekwivalente breuk oplewer. Alhoewel die getalle in hierdie nuwe breuk anders sal wees, sal hierdie breuke dieselfde waarde hê.
Byvoorbeeld, as ons die breuk 4/8 van stap een gebruik en die teller en noemer vermenigvuldig met die getal wat ons vroeër gedefinieer het, wat 2 is, kry ons (4 × 2)/(8 × 2) = 8/16. Hierdie resultaat bewys dat hierdie twee breuke ekwivalent is.
Metode 3 van 5: Gebruik basiese afdeling om gelykheid te bepaal
Stap 1. Tel elke breuk as 'n desimale getal
Vir eenvoudige breuke sonder veranderlikes kan u elke breuk as 'n desimale getal voorstel om gelykheid te bepaal. Aangesien elke breuk eintlik 'n verdeeldheidsprobleem is, is dit die eenvoudigste manier om gelykheid te bepaal.
- Gebruik byvoorbeeld die breuk wat ons vroeër gebruik het, 4/8. Die breuk 4/8 is gelykstaande aan sê 4 gedeel deur 8, wat 4/8 = 0.5 is. U kan ook die ander voorbeeld, wat 8/16 = 0.5 is, losmaak, ongeag die terme in 'n breuk, die breuk is ekwivalent as beide getalle dieselfde is as dit in desimale voorgestel word.
- Hou in gedagte dat desimale uitdrukkings meerdere syfers kan hê voordat die gelykheid duidelik is. As 'n basiese voorbeeld herhaal 1/3 = 0,333 terwyl 3/10 = 0,3. Deur meer as een syfer te gebruik, sien ons dat hierdie twee breuke nie ekwivalent is nie.
Stap 2. Deel die teller en noemer van 'n breuk met dieselfde getal om 'n ekwivalente breuk te kry
Vir meer komplekse breuke vereis die delingsmetode addisionele stappe. Terwyl u met vermenigvuldiging die teller en noemer van 'n breuk met dieselfde getal kan deel om 'n ekwivalente breuk te kry. Daar is een nadeel aan hierdie proses. Die finale breuk moet heelgetalle in beide die teller en die noemer hê om waar te wees.
Kom ons kyk byvoorbeeld terug na 4/8. As ons die teller en noemer in plaas van vermenigvuldig met 2, kry ons (4 2)/(8 2) = 2/4. 2 en 4 is heelgetalle, dus is hierdie ekwivalente breuke waar.
Stap 3. Vereenvoudig die breuke tot hul eenvoudigste terme
Die meeste breuke word gewoonlik in hul eenvoudigste terme geskryf, en u kan breuke omskakel in hul eenvoudigste vorm deur te deel deur die grootste gemene faktor (GCF). Hierdie stap word uitgevoer in dieselfde logika as die skryf van ekwivalente breuke, omskakel hulle in dieselfde noemer, maar hierdie metode probeer om elke breuk tot sy kleinste moontlike terme te vereenvoudig.
- As 'n breuk in sy eenvoudigste vorm is, het die teller en die noemer die kleinste waardes. Beide kan nie met 'n heelgetal gedeel word om die kleiner waarde te kry nie. Om 'n breuk wat nie in sy eenvoudigste vorm is nie, om te skakel in die eenvoudigste ekwivalente vorm, deel ons die teller en noemer deur hul grootste gemene faktor.
-
Die grootste gemene faktor (GCF) van die teller en noemer is die grootste getal wat hulle verdeel om 'n heelgetal resultaat te gee. Dus, in ons 4/8 voorbeeld, want
Stap 4. is die grootste getal wat deelbaar is met 4 en 8, deel ons die teller en noemer van ons breuk met 4 om die eenvoudigste terme te kry. (4 4)/(8 4) = 1/2. Vir ons ander voorbeeld, 8/16, is die GCF 8, wat ook die waarde 1/2 as die eenvoudigste uitdrukking van 'n breuk gee.
Metode 4 van 5: Gebruik kruisprodukte om veranderlikes te vind
Stap 1. Rangskik die twee breuke sodat hulle gelyk is aan mekaar
Ons gebruik kruisvermenigvuldiging vir wiskundige probleme, waar ons weet dat die breuke ekwivalent is, maar een van die getalle is vervang deur 'n veranderlike (gewoonlik x) wat ons moet oplos. In sulke gevalle weet ons dat hierdie breuke ekwivalent is omdat dit die enigste terme aan die ander kant van die gelykteken is, maar die manier om die veranderlike te vind, is dikwels nie duidelik nie. Gelukkig is die oplossing van hierdie tipe probleme met kruisvermenigvuldiging maklik.
Stap 2. Neem twee ekwivalente breuke en vermenigvuldig dit met 'n "X" vorm
Met ander woorde, u vermenigvuldig die teller van een breuk met die noemer van 'n ander breuk en omgekeerd, en rangskik dan die twee antwoorde om by mekaar te pas en op te los.
Neem ons twee voorbeelde, 4/8 en 8/16. Nie een het 'n veranderlike nie, maar ons kan die konsep bewys, want ons weet reeds dat dit ekwivalent is. Deur kruisvermenigvuldiging kry ons 4/16 = 8 x 8, of 64 = 64, wat waar is. As hierdie twee getalle nie gelyk is nie, is die breuke nie ekwivalent nie
Stap 3. Voeg veranderlikes by
Aangesien kruisvermenigvuldiging die maklikste manier is om ekwivalente breuke te bepaal wanneer u veranderlikes moet vind, laat ons veranderlikes byvoeg.
-
Byvoorbeeld, laat ons die vergelyking 2/x = 10/13 gebruik. Om te vermenigvuldig, vermenigvuldig ons 2 met 13 en 10 met x, en stel dan ons antwoorde gelyk aan mekaar:
- 2 × 13 = 26
- 10 × x = 10x
- 10x = 26. Van hier af is die antwoord op ons veranderlike 'n eenvoudige algebraprobleem. x = 26/10 = 2, 6, wat die aanvanklike ekwivalente breuk 2/2 maak, 6 = 10/13.
Stap 4. Gebruik kruisvermenigvuldiging vir veelvoudige veranderlike breuke of veranderlike uitdrukkings
Een van die beste dinge oor kruisvermenigvuldiging is dat dit eintlik op dieselfde manier werk, of u nou met twee eenvoudige breuke (soos hierbo) of meer komplekse breuke werk. As beide breuke byvoorbeeld veranderlikes het, hoef u slegs hierdie veranderlikes in die oplosproses uit te skakel. Net so, as die teller of noemer van u breuk 'n veranderlike uitdrukking het (soos x + 1), moet u dit net "vermenigvuldig" met behulp van die verspreidingseiendom en los soos gewoonlik op.
-
Byvoorbeeld, laat ons die vergelyking ((x + 3)/2) = ((x + 1)/4) gebruik. In hierdie geval, soos hierbo, los ons dit op deur kruisproduk:
- (x + 3) × 4 = 4x + 12
- (x + 1) × 2 = 2x + 2
- 2x + 2 = 4x + 12, dan kan ons die breuk vereenvoudig deur 2x van beide kante af te trek
- 2 = 2x + 12, dan isoleer ons die veranderlike deur 12 van beide kante af te trek
- -10 = 2x, en deel met 2 om x te vind
- - 5 = x
Metode 5 van 5: Gebruik kwadratiese formules om veranderlikes te vind
Stap 1. Kruis die twee breuke
Vir gelykheidsprobleme wat 'n kwadratiese formule vereis, begin ons steeds met die gebruik van kruisprodukte. Elke kruisproduk wat die terme van 'n veranderlike met die terme van 'n ander veranderlike vermenigvuldig, sal egter waarskynlik 'n uitdrukking tot gevolg hê wat nie maklik met algebra opgelos kan word nie. In sulke gevalle moet u moontlik tegnieke soos factoring en/of kwadratiese formules gebruik.
-
Kom ons kyk byvoorbeeld na die vergelyking ((x +1)/3) = (4/(2x - 2)). Eerstens, laat ons kruis vermenigvuldig:
- (x + 1) × (2x - 2) = 2x2 + 2x -2x - 2 = 2x2 - 2
- 4 × 3 = 12
- 2x2 - 2 = 12.
Stap 2. Skryf die vergelyking as 'n kwadratiese vergelyking neer
In hierdie afdeling wil ons hierdie vergelyking in kwadratiese vorm skryf (ax2 + bx + c = 0), wat ons doen deur die vergelyking gelyk aan nul te stel. In hierdie geval trek ons 12 van beide kante af om 2x te kry2 - 14 = 0.
Sommige waardes kan gelyk wees aan 0. Alhoewel 2x2 - 14 = 0 is die eenvoudigste vorm van ons vergelyking, die werklike kwadratiese vergelyking is 2x2 + 0x + (-14) = 0. Dit kan in die begin nuttig wees om die vorm van die kwadratiese vergelyking neer te skryf, selfs al is sommige waardes gelyk aan 0.
Stap 3. Los dit op deur die getalle van u kwadratiese vergelyking in die kwadratiese formule te koppel
Kwadratiese formule (x = (-b +/- (b2 - 4ac))/2a) sal ons help om ons x -waarde in hierdie afdeling te vind. Moenie bang wees vir die lengte van die formule nie. U neem die waardes uit u kwadratiese vergelyking in stap twee en plaas dit op die regte plekke voordat u dit oplos.
- x = (-b +/- (b2 - 4ac))/2a. In ons vergelyking, 2x2 - 14 = 0, a = 2, b = 0 en c = -14.
- x = (-0 +/- (02 - 4(2)(-14)))/2(2)
- x = (+/- (0 - -112))/2 (2)
- x = (+/- (112))/2 (2)
- x = (+/- 10.58/4)
- x = +/- 2, 64
Stap 4. Gaan u antwoord na deur die waarde van x weer in u kwadratiese vergelyking in te voer
Deur die berekende x -waarde vanaf stap twee weer in u kwadratiese vergelyking te koppel, kan u maklik bepaal of u die antwoord reg gekry het. In hierdie voorbeeld sal u 2, 64 en -2, 64 in die oorspronklike kwadratiese vergelyking koppel.
Wenke
- Om 'n breuk in sy ekwivalent om te skakel, is eintlik 'n vorm om 'n breuk met 1 te vermenigvuldig. By die omskakeling van 1/2 na 2/4 is die vermenigvuldiging van die teller en noemer met 2 dieselfde as om 1/2 met 2/2 te vermenigvuldig, wat gelyk is aan 1.
-
Omskakel, indien verkies, die gemengde getal in 'n gewone breuk om die omskakeling makliker te maak. Natuurlik is nie alle breuke wat u teëkom so maklik soos omskakeling van ons 4/8 voorbeeld hierbo nie. Byvoorbeeld, gemengde getalle (soos 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3, ens.) Kan die omskakelingsproses 'n bietjie ingewikkelder maak. As u 'n gemengde getal in 'n gewone breuk moet omskakel, kan u dit op twee maniere doen: deur die gemengde getal in 'n gewone breuk om te skakel en dit dan soos gewoonlik om te skakel, of deur die vorm van gemengde getalle te behou en antwoorde in die vorm van gemengde getalle te kry.
- Om na 'n gewone breuk om te skakel, vermenigvuldig die heelgetalkomponent van die gemengde getal met die noemer van die breukdeel en voeg dit dan by die teller. Byvoorbeeld, 1 2/3 = ((1 × 3) + 2)/3 = 5/3. Indien nodig, kan u dit, indien nodig, verander. Byvoorbeeld, 5/3 × 2/2 = 10/6, wat gelyk is aan 1 2/3.
- Ons hoef dit egter nie om te skakel na 'n gewone breuk soos hierbo nie. Anders laat ons die heelgetalkomponent alleen, verander slegs die breukdeel en voeg die heelgetalkomponent onveranderd by. Byvoorbeeld, vir 3 4/16 sien ons slegs 4/16. 4/16 4/4 = 1/4. Dus, deur ons heelgetalkomponente terug te voeg, kry ons 'n nuwe gemengde getal, 3 1/4.
Waarskuwing
- Vermenigvuldiging en deling kan gebruik word om ekwivalente breuke te kry omdat vermenigvuldiging en deling met die breukvorm van die getal 1 (2/2, 3/3, ens.) 'N antwoord gee wat gelykstaande is aan die oorspronklike breuk, per definisie. Optel en aftrek kan nie gebruik word nie.
-
Al vermenigvuldig jy die tellers en die noemers as jy breuke vermenigvuldig, tel jy die noemers nie by of aftrek as jy breuke optel of aftrek nie.
Byvoorbeeld, hierbo weet ons dat 4/8 4/4 = 1/2. As ons teen 4/4 optel, kry ons 'n heel ander antwoord. 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 of 3/2, hulle is nie gelyk aan 4/8 nie.
