Hoe om 'n vierkantige grafiek te teken: 10 stappe (met foto's)

2024 Outeur: Jason Gerald | [email protected]. Laas verander: 2024-02-01 14:11

As dit grafies voorgestel word, is die kwadratiese vergelyking van die vorm byl² + bx + c of a (x - h)² + k vorm die letter U of 'n omgekeerde U -kromme wat 'n parabool genoem word. Om 'n kwadratiese vergelyking te teken, is op soek na die hoekpunt, rigting en dikwels die x- en y -kruising. In gevalle van redelik eenvoudige kwadratiese vergelykings, is dit voldoende om 'n stel x -waardes in te voer en die kromme op die resultate te teken. Sien stap 1 hieronder om aan die gang te kom.

Stap

Stap 1. Bepaal die vorm van die kwadratiese vergelyking wat u het

Kwadratiese vergelykings kan in drie verskillende vorme geskryf word: algemene vorm, hoekpunt en kwadratiese vorm. U kan enige vorm gebruik om 'n kwadratiese vergelyking te teken; die proses om elke grafiek uit te beeld, is effens anders. As u huiswerk doen, ontvang u gewoonlik vrae in een van hierdie twee vorme - met ander woorde, u kan nie kies nie, dus is dit beter om beide te verstaan. Die twee vorme van die kwadratiese vergelyking is:

• Algemene vorm.

  In hierdie vorm word die kwadratiese vergelyking geskryf as: f (x) = ax² + bx + c waar a, b en c reële getalle is en a nie nul is nie.

  Twee kwadratiese vergelykings van algemene vorm is byvoorbeeld f (x) = x² + 2x + 1 en f (x) = 9x² + 10x -8.

• Piekvorm.

  In hierdie vorm word die kwadratiese vergelyking geskryf as: f (x) = a (x - h)² + k waar a, h en k reële getalle is en a nie nul is nie. Dit word die hoekpuntvorm genoem omdat h en k die hoekpunt (middelpunt) van u parabool onmiddellik op die punt (h, k) sal gee.

  Die twee hoekpuntvormvergelykings is f (x) = 9 (x - 4)² + 18 en -3 (x - 5)² + 1

• Om 'n grafiek van enige soort vergelyking te maak, moet ons eers die hoekpunt van die parabool vind, wat die middelpunt (h, k) aan die einde van die kromme is. Die koördinate van die pieke in die algemene vorm word bereken as: h = -b/2a en k = f (h), terwyl h en k in die piekvorm in die vergelyking is.

Stap 2. Definieer u veranderlikes

Om 'n kwadratiese probleem op te los, moet die veranderlikes a, b en c (of a, h en k) gewoonlik gedefinieer word. 'N Gewone algebraprobleem gee 'n kwadratiese vergelyking met die beskikbare veranderlikes, gewoonlik in algemene vorm, maar soms in piekvorm.

• Byvoorbeeld, vir 'n vergelyking van algemene vorm f (x) = 2x² + 16x + 39, ons het a = 2, b = 16 en c = 39.
• Vir die piekvormvergelyking f (x) = 4 (x - 5)² + 12, ons het a = 4, h = 5 en k = 12.

Stap 3. Bereken h

In die hoekpuntvormvergelyking word u h -waarde reeds gegee, maar in die algemene vormvergelyking moet die h -waarde bereken word. Onthou dat h = -b/2a vir algemene vergelykings.

• In ons algemene vormvoorbeeld (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2). Na die oplossing vind ons dat h = - 4.
• In ons hoekpuntvorm (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), weet ons dat h = 5 sonder om wiskunde te doen.

Stap 4. Bereken k

Soos h, is k reeds bekend in die vergelyking van die piekvorm. Vir vergelykings van algemene vorm, onthou dat k = f (h). Met ander woorde, u kan k vind deur al die x -waardes in u vergelyking te vervang deur die h -waardes wat u pas gevind het.

• Ons het reeds in ons algemene vormvoorbeeld vasgestel dat h = -4. Om k te vind, los ons ons vergelyking op deur ons waarde van h in plaas van x in te sluit:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Stap 7.

• In ons voorbeeld in die piekvorm weet ons weer die waarde van k (wat 12 is) sonder om wiskunde te doen.

Stap 5. Teken jou hoogtepunt

Die hoekpunt van jou parabool is die punt (h, k)-h verteenwoordig die x-koördinaat, terwyl k die y-koördinaat voorstel. Die hoekpunt is die middelpunt van u parabel - óf onderaan die U óf bo -aan die omgekeerde U. Om die hoekpunte te ken, is 'n belangrike deel van die teken van 'n presiese parabool - dikwels, tydens skoolwerk, is die bepaling van die hoekpunt die deel waarna u in 'n vraag moet soek.

• In ons algemene voorbeeld is ons piek (-4, 7). Ons parabool bereik dus 4 trappe na links vanaf 0 en 7 trappe hierbo (0, 0). Ons moet hierdie punt in ons grafiek uitbeeld, en sorg dat ons die koördinate merk.
• In ons hoekpuntvorm is ons hoekpunt (5, 12). Ons moet 'n punt 5 stappe na regs teken en 12 stappe hierbo (0, 0).

Stap 6. Teken die as van die parabool (opsioneel)

Die simmetrie -as van 'n parabool is 'n lyn wat deur sy middel beweeg en dit presies in die middel verdeel. Op hierdie as sal die linkerkant van die parabool die regterkant weerspieël. Vir kwadratiese vergelykings in die vorm ax² + bx + c of a (x - h)² + k, die simmetrie-as is die lyn wat parallel is met die y-as (met ander woorde presies vertikaal) en deur die hoekpunt gaan.

In die geval van ons algemene vormvoorbeeld, is die as die lyn parallel met die y-as en gaan deur die punt (-4, 7). Alhoewel dit nie deel uitmaak van die parabool nie, sal hierdie lyn op u grafiek dun gemerk word, sodat u uiteindelik die simmetriese vorm van die parabool se kromme kan sien

Stap 7. Vind die rigting van die opening van die parabool

Nadat ons die piek en as van die parabool geken het, moet ons eers weet of die parabool oop of af gaan. Gelukkig is dit maklik. As die waarde van a positief is, sal die parabool opwaarts oopgaan, terwyl die waarde van a negatief is, sal die parabool afwaarts oopmaak (dit wil sê die parabool sal omgekeer word).

• Vir ons algemene vormvoorbeeld (f (x) = 2x² + 16x + 39), weet ons dat ons 'n parabool het wat oopmaak, want in ons vergelyking is a = 2 (positief).
• Vir ons hoekpuntvorm (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), weet ons dat ons ook 'n parabool het wat oopmaak omdat a = 4 (positief).

Stap 8. Soek en teken die x-afsnit indien nodig

In skoolwerk word u gereeld gevra om die x-afsnit in die parabool te vind (dit is een of twee punte waar die parabool die x-as ontmoet). Selfs as u nie een kry nie, is hierdie twee punte baie belangrik om 'n presiese parabool te teken. Nie alle parabolas het egter 'n x-afsnit nie. As u parabel 'n hoekpunt het wat oopmaak en sy hoekpunt bo die x-as is, of as dit afwaarts oopmaak en sy hoekpunt onder die x-as is, die parabool sal geen x-afsnit hê nie. Andersins, los u x-afsnit op een van die volgende maniere op:

• Maak net f (x) = 0 en los die vergelyking op. Hierdie metode kan gebruik word vir eenvoudige kwadratiese vergelykings, veral in piekvorm, maar dit sal baie moeilik wees vir komplekse vergelykings. Sien 'n voorbeeld hieronder

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • Wortel (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 en 13 is die x-afsnit in die parabool.

• Faktoreer jou vergelyking. Sommige vergelykings in die vorm byl² + bx + c kan maklik in die vorm ingereken word (dx + e) (fx + g), waar dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx, en e × g = c. In hierdie geval is u x-afsnitte x waardes wat 'n term tussen hakies = 0. Byvoorbeeld:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • In hierdie geval is u enigste x -afsnit -1, want om x gelyk te maak -1 sal enige faktorterm tussen hakies gelyk aan 0 maak.

• Gebruik die kwadratiese formule. As u nie u x-afsnit maklik kan oplos of u vergelyking kan faktoriseer nie, gebruik 'n spesiale vergelyking genaamd 'n kwadratiese formule wat hiervoor geskep is. As dit nog nie opgelos is nie, verander u vergelyking in die vorm byl² + bx + c, voer dan a, b en c in die formule in x = (-b +/- sqrt (b)² - 4ac))/2a. Let daarop dat hierdie metode u dikwels twee antwoorde gee vir die waarde van x, wat OK is-dit beteken net dat u parabel twee x-afsnitte het. Sien 'n voorbeeld hieronder:

  • -5x² + 1x + 10 word soos volg in die kwadratiese formule geplaas:
  • x = (-1 +/- Wortel (1.)² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- Wortel (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- Wortel (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14, 18)/-10
  • x = (13, 18/-10) en (-15, 18/-10). Die x-afsnit in die parabool is x = - 1, 318 en 1, 518
  • Ons vorige voorbeeld van die algemene vorm, 2x² +16x+39 word soos volg in die kwadratiese formule geplaas:
  • x = (-16 +/- wortel (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- Wortel (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- Wortel (-56)/-10
  • Aangesien dit onmoontlik is om die vierkantswortel van 'n negatiewe getal te vind, weet ons dat hierdie parabool het geen x-afsnit nie.

Stap 9. Soek en teken die y-afsnit indien nodig

Alhoewel dit dikwels nie nodig is om na die y-afsnit in vergelykings te soek nie (die punt waar die parabool deur die y-as gaan), moet u dit uiteindelik vind, veral as u op skool is. Die proses is redelik eenvoudig-maak net x = 0 en los dan die vergelyking op vir f (x) of y, wat die waarde gee van y waar u parabel deur die y-as gaan. Anders as die x-afsnit, kan 'n gewone parabool slegs een y-afsnit hê. Let wel-vir vergelykings van algemene vorm is die y-afsnit y = c.

• Ons weet byvoorbeeld dat ons kwadratiese vergelyking 2x is² + 16x + 39 het 'n y-afsnit by y = 39, maar dit kan ook op die volgende manier gevind word:

  • f (x) = 2x² +16x+39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Die y-afsnit van die parabool is by y = 39.

    Soos hierbo opgemerk, is die y-afsnit by y = c.

• Die vorm van ons hoekpuntvergelyking is 4 (x - 5)² + 12 het 'n y-afsnit wat op die volgende manier gevind kan word:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Die y-afsnit van die parabool is by y = 112.

    

    Stap 10. Teken indien nodig ekstra punte en teken dan 'n grafiek

    Nou het u die hoekpunt, rigting, x-afsnit en moontlik y-afsnit in u vergelyking. In hierdie stadium kan u probeer om u parabool te teken met behulp van die punte wat u as gids het, of na ander punte soek om u parabool in te vul, sodat die kromme wat u teken, meer akkuraat is. Die maklikste manier om dit te doen is om 'n paar x-waardes in enige kant van u hoekpunt in te voer, en dan hierdie punte te teken met behulp van die y-waardes wat u kry. Dikwels vra onderwysers u om na verskeie punte te kyk voordat u u parabool teken.

    • Kom ons kyk na die vergelyking x² + 2x + 1. Ons weet reeds dat die x -afsnit slegs by x = -1 is. Aangesien die kromme slegs op een punt die x-afsnit raak, kan ons aflei dat die hoekpunt sy x-afsnit is, wat beteken dat die hoekpunt (-1, 0) is. Ons het eintlik net een punt vir hierdie parabel - nie genoeg om 'n goeie parabool te teken nie. Kom ons kyk na 'n paar ander punte om seker te maak dat ons 'n deeglike grafiek teken.

      • Kom ons vind die y -waardes vir die volgende x -waardes: 0, 1, -2 en -3.
      • Vir 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Ons punt is (0, 1).

      • Vir 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Ons punt is (1, 4).

      • Vir -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Ons punt is (-2, 1).

      • Vir -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Ons punt is (-3, 4).

      • Teken hierdie punte op die grafiek en teken u U-vormige kromme. Let daarop dat die parabool perfek simmetries is - as u punte aan die een kant van die parabel heelgetalle is, kan u gewoonlik die werk verminder deur bloot 'n gegewe punt op die simmetrie -as van die parabool weer te gee om dieselfde punt aan die ander kant van die parabool te vind.

    Wenke

    • Rond getalle af of gebruik breuke volgens die versoek van u algebra -onderwyser. Dit sal u help om die kwadratiese vergelyking beter te grafiseer.
    • Let op dat in f (x) = ax² + bx + c, as b of c gelyk is aan nul, sal hierdie getalle verdwyn. Byvoorbeeld, 12x² + 0x + 6 word 12x² + 6 omdat 0x 0 is.