In die dae voordat sakrekenaars uitgevind is, moes studente en professore vierkantswortels met die hand bereken. Verskeie verskillende maniere is ontwikkel om hierdie moeilike proses te oorkom. Sommige maniere gee 'n ruwe skatting en ander gee 'n presiese waarde. Om te leer hoe u die vierkantswortel van 'n getal kan vind met eenvoudige bewerkings, sien stap 1 hieronder om aan die gang te kom.
Stap
Metode 1 van 2: Gebruik van Prime Factorization
Stap 1. Verdeel jou getal in perfekte vierkantfaktore
Hierdie metode gebruik die faktore van 'n getal om die vierkantswortel van die getal te vind (afhangende van die getal kan die antwoord 'n presiese getal of 'n noue benadering wees). Die faktore van 'n getal is 'n stel ander getalle wat, wanneer dit vermenigvuldig word, die getal produseer. U kan byvoorbeeld sê dat die faktore van 8 2 en 4 is omdat 2 × 4 = 8. Intussen is volmaakte vierkante heelgetalle wat die produk is van ander heelgetalle. 25, 36 en 49 is byvoorbeeld perfekte vierkante omdat dit onderskeidelik 5. is2, 62, en 72. Soos u al kon raai, is perfekte vierkantfaktore faktore wat ook perfekte vierkante is. Om die vierkantswortel te vind deur middel van primfaktorisering, probeer eers om u getal te vereenvoudig tot die perfekte vierkantfaktore.
- Kom ons gebruik 'n voorbeeld. Ons wil die vierkantswortel van 400 met die hand vind. Om te begin, verdeel ons die getal in sy perfekte vierkantfaktore. Aangesien 400 'n veelvoud van 100 is, weet ons dat 400 deelbaar is met 25 - 'n perfekte vierkant. Met 'n vinnige verdeling van die skaduwees vind ons dat 400 gedeel deur 25 gelyk is aan 16. Toevallig is 16 ook 'n perfekte vierkant. Die perfekte vierkantfaktore van 400 is dus 25 en 16 want 25 × 16 = 400.
- Ons kan dit skryf as: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
Stap 2. Vind die vierkantswortel van u perfekte vierkantfaktore
Die vermenigvuldigingseienskappe van die vierkantswortel stel dat Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b) vir enige getal a en b. As gevolg van hierdie eienskap, kan ons nou die vierkantswortel van ons perfekte vierkantfaktore vind en dit vermenigvuldig om ons antwoord te kry.
-
In ons voorbeeld vind ons die vierkantswortels van 25 en 16. Sien hieronder:
- Wortel (25 × 16)
- Wortel (25) × wortel (16)
-
5 × 4 =
Stap 20.
Stap 3. As u nommer nie perfek in berekening gebring kan word nie, vereenvoudig u antwoord tot sy eenvoudigste vorm
In die werklike lewe is die getalle wat u nodig het om die vierkantswortel te vind, nie aangename heelgetalle met duidelike perfekte kwadraatfaktore soos 400. In hierdie gevalle is dit moontlik dat ons nie die regte antwoord kan vind nie. Deur soveel perfekte kwadraatfaktore te vind as wat u kan vind, kan u die antwoord vind in die vorm van 'n vierkantswortel wat kleiner, eenvoudiger en makliker is om te bereken. Om dit te doen, verminder u getal tot 'n kombinasie van perfekte vierkantfaktore en onvolmaakte vierkantfaktore, en vereenvoudig dit dan.
-
Kom ons gebruik die vierkantswortel van 147 as 'n voorbeeld. 147 is nie 'n produk van twee perfekte vierkante nie, dus kan ons nie die presiese heelgetalwaarde soos hierbo kry nie. 147 is egter die produk van een volmaakte vierkant en 'n ander getal - 49 en 3. Ons kan hierdie inligting gebruik om ons antwoord in die eenvoudigste vorm soos volg te skryf:
- Wortel (147)
- = Wortel (49 × 3)
- = Sqrt (49) × Sqrt (3)
- = 7 × wortel (3)
Stap 4. Skat, indien nodig
Met u vierkantswortel in sy eenvoudigste vorm, is dit gewoonlik redelik maklik om 'n ruwe skatting van die getalantwoord te kry deur die waarde van die oorblywende vierkantswortel te raai en dit te vermenigvuldig. Een manier om u raaiskoot te lei, is om perfekte vierkante te soek wat groter as en kleiner is as die getal in u vierkantswortel. U sal sien dat die desimale waarde van die getal in u vierkantswortel tussen die twee getalle is, sodat u die waarde tussen die twee getalle kan raai.
-
Kom ons keer terug na ons voorbeeld. omdat 22 = 4 en 12 = 1, ons weet dat wortel (3) tussen 1 en 2 is - waarskynlik nader aan 2 as 1. Ons skat 1, 7. 7 × 1, 7 = 11, 9. As ons ons antwoord op die sakrekenaar nagaan, kan ons sien dat ons antwoord baie naby is aan die werklike antwoord 12, 13.
Dit geld ook vir groter getalle. Root (35) kan byvoorbeeld tussen 5 en 6 (moontlik nader aan 6) benader word. 52 = 25 en 62 = 36. 35 is tussen 25 en 36, dus die vierkantswortel moet tussen 5 en 6. Aangesien 35 slegs een minder as 36 is, kan ons met vertroue sê dat die vierkantswortel effens minder is as 6. As u met 'n sakrekenaar kontroleer gee ons die antwoord is ongeveer 5, 92 - ons is reg.
Stap 5. Alternatiewelik, verminder u aantal tot die minste algemene faktore as u eerste stap
Dit is nie nodig om die faktore van volmaakte vierkante te vind as u die primêre faktore van 'n getal maklik kan bepaal nie (faktore wat ook priemgetalle is). Skryf u nommer in terme van die minste algemene faktore daarvan. Soek dan die pare priemgetalle wat by u faktore pas. As u twee primêre faktore vind wat dieselfde is, verwyder hierdie twee getalle van die vierkantswortel en plaas een van hierdie getalle buite die vierkantswortel.
-
Soek byvoorbeeld die vierkantswortel van 45 deur hierdie metode te gebruik. Ons weet dat 45 × 5 en ons weet dat onder 9 = 3 × 3. Ons kan dus ons vierkantswortel skryf in terme van die volgende faktore: Sqrt (3 × 3 × 5). Verwyder albei 3's en plaas een 3 buite die vierkantswortel om u vierkantswortel in sy eenvoudigste vorm te vereenvoudig: (3) Wortel (5).
Van hier af is dit maklik om te skat.
-
As 'n laaste voorbeeldprobleem, laat ons die vierkantswortel van 88 probeer vind:
- Wortel (88)
- = Wortel (2 × 44)
- = Wortel (2 × 4 × 11)
- = Wortel (2 × 2 × 2 × 11). Ons het ongeveer 2 in ons vierkantswortel. Aangesien 2 'n priemgetal is, kan ons 'n paar 2's verwyder en een daarvan buite die vierkantswortel sit.
-
= Ons vierkantswortel in sy eenvoudigste vorm is (2) Sqrt (2 × 11) of (2) Wortel (2) Wortel (11).
Van hieruit kan ons Sqrt (2) en Sqrt (11) skat en die benaderde antwoord vind soos ons wil.
Metode 2 van 2: Handmatig vind van die vierkantswortel
Gebruik die Long Division -algoritme
Stap 1. Verdeel die syfers van u nommer in pare
Hierdie metode gebruik 'n proses soortgelyk aan langdeling om die presiese vierkantswortel syfer vir syfer te vind. Alhoewel dit nie verpligtend is nie, is dit moontlik makliker om hierdie proses uit te voer as u u werkplek en u getalle visueel in dele verdeel wat maklik is om te werk. Trek eers 'n vertikale lyn wat u werkarea in twee dele verdeel, en trek dan 'n korter horisontale lyn regs bo om die regte gedeelte in 'n kleiner boonste gedeelte en 'n groter onderste gedeelte te verdeel. Verdeel dan u syfers in pare, begin by die desimale punt. Byvoorbeeld, na aanleiding van hierdie reël word 79 520 789 182, 47897 '7 95 20 78 91 82. 47 89 70'. Skryf u nommer links bo.
Kom ons probeer byvoorbeeld om die vierkantswortel van 780, 14. te bereken. Trek twee lyne om u werkplek soos hierbo te verdeel en skryf "7 80. 14" links bo. Dit maak nie saak of die getal in die linkerkant 'n enkele getal is nie, en nie 'n paar getalle nie. U skryf u antwoord (vierkantswortel 780, 14) regs bo
Stap 2. Vind die grootste heelgetal waarvan die vierkantwaarde minder as of gelyk is aan die getal (of paar getalle) heel links
Begin heel links van u nommer, beide getalpare en enkelgetalle. Vind die grootste volmaakte vierkant wat kleiner is as of gelyk is aan hierdie getal, en vind dan die vierkantswortel van hierdie perfekte vierkant. Hierdie nommer is n. Skryf n regs bo en skryf die vierkant van n in die regterkantste kwadrant.
In ons voorbeeld is heel links die getal 7. Omdat ons weet dat 22 = 4 ≤ 7 < 32 = 9, kan ons sê dat n = 2 omdat 2 die grootste heelgetal is waarvan die vierkantwaarde minder as of gelyk is aan 7. Skryf 2 in die regter boonste kwadrant. Dit is die eerste syfer van ons antwoord. Skryf 4 (vierkantwaarde van 2) in die regterkantste kwadrant neer. Hierdie nommer is belangrik vir die volgende stap.
Stap 3. Trek die getal wat u so pas bereken het, van die linkerkantste paar af
Soos met lang deling, is die volgende stap om die waarde van die vierkant wat ons so pas gevind het, af te trek van die deel wat ons nou ontleed het. Skryf hierdie nommer onder die eerste deel en trek dit af en skryf u antwoord daaronder.
-
In ons voorbeeld skryf ons 4 onder 7 en trek dit dan af. Hierdie aftrekking gee 'n antwoord
Stap 3..
Stap 4. Laat val die volgende paar
Beweeg die volgende gedeelte van die getal waarvoor u die vierkantswortel soek, langs die aftrekwaarde wat u pas gevind het. Vermenigvuldig vervolgens die getal in die regter boonste kwadrant met twee en skryf die antwoord in die regter onderste kwadrant. Laat langs die nommer wat u net neergeskryf het, 'n spasie vir die vermenigvuldigingprobleem wat u in die volgende stap sal doen deur '"_ × _ ="' te skryf.
In ons voorbeeld is die volgende paar van ons getalle '80'. Skryf "80" langs 3 in die linker kwadrant. Vermenigvuldig dan die getal regs bo met twee. Hierdie getal is 2, dus 2 × 2 = 4. Skryf "'4"' in die regterkantste kwadrant, gevolg deur _×_=.
Stap 5. Vul die spasies in die regte kwadrant in
U moet al die spasies wat u so pas in die regte kwadrant met dieselfde heelgetal ingevul het, invul. Hierdie heelgetal moet die grootste heelgetal wees wat die produk in die regterkwadrant minder as of gelyk aan die getal aan die linkerkant maak.
In ons voorbeeld vul ons die spasies met 8 in, wat lei tot 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Hierdie waarde is groter as 384. 8 is dus te groot, maar 7 kan werk. Skryf 7 in die spasies en los op: 4 (7) × 7 = 329. 7 is 'n korrekte getal omdat 329 minder is as 380. Skryf 7 in die regter boonste kwadrant. Dit is die tweede syfer in die vierkantswortel van 780, 14
Stap 6. Trek die getal wat u pas bereken het af van die getal nou aan die linkerkant
Gaan voort met die aftrekkingsketting deur die langdelingsmetode te gebruik. Neem die produk van die probleem in die regterkwadrant en trek dit af van die nommer wat nou aan die linkerkant is, terwyl u u antwoorde hieronder skryf.
In ons voorbeeld trek ons 329 af van 380, wat die resultaat gee 51.
Stap 7. Herhaal stap 4
Lei die volgende deel van die getal af waarvoor u die vierkantswortel soek. As u die desimale punt in u getal bereik, skryf die desimale punt in u antwoord in die regter boonste kwadrant. Vermenigvuldig dan die getal regs bo met 2 en skryf dit langs die leë vermenigvuldigingsprobleem ("_ × _") soos hierbo.
In ons voorbeeld, aangesien ons nou met die desimale punt in 780, 14 te doen het, skryf die desimale punt na ons huidige antwoord regs bo. Verlaag dan die volgende paar (14) in die linker kwadrant. Die getal regs bo (27) is twee keer gelyk aan 54, dus skryf "54 _ × _ =" in die regterkantste kwadrant
Stap 8. Herhaal stap 5 en 6
Vind die grootste syfer om die spasies aan die regterkant in te vul, wat 'n antwoord gee wat minder is as of gelyk is aan die getal wat tans aan die linkerkant is. Los dan die probleem op.
In ons voorbeeld is 549 × 9 = 4941, wat minder is as of gelyk is aan die getal aan die linkerkant (5114). 549 × 10 = 5490 is te groot, dus 9 is jou antwoord. Skryf 9 as die volgende syfer in die regter boonste kwadrant en trek die produk af van die getal links: 5114 minus 4941 is gelyk aan 173
Stap 9. Om die syfers te tel, verlaag u die paar nulle aan die linkerkant en herhaal stap 4, 5 en 6
Vir meer akkuraatheid, gaan voort met hierdie proses om die honderde, duisende en meer plekke in u antwoord te vind. Hou aan om hierdie siklus te gebruik totdat u die desimale plek kry wat u wil hê.
Verstaan die proses
Stap 1. Stel jou voor dat die getal waarvan jy die vierkantswortel bereken het, die oppervlakte S van 'n vierkant is
Aangesien die oppervlakte van 'n vierkant P is2 waar P die lengte van een van die sye is, dan probeer jy eintlik die lengte P van die sykant van die vierkant deur die vierkantswortel van jou getal te vind.
Stap 2. Bepaal die letterveranderlikes vir elke syfer van u antwoord
Stel die veranderlike A as die eerste syfer van P (die vierkantswortel wat ons probeer bereken). B sal die tweede syfer wees, C die derde syfer, ensovoorts.
Stap 3. Bepaal die letterveranderlikes vir elke deel van u beginnommer
Stel veranderlike Sa vir die eerste paar syfers in S (u aanvanklike waarde), Sb vir die tweede paar syfers, ens.
Stap 4. Verstaan die verband tussen hierdie metode en lang afdeling
Hierdie metode om die vierkantswortel te vind, is basies 'n lang delingsprobleem wat u aanvanklike getal deur die vierkantswortel deel, wat u die vierkantswortel van die antwoord gee. Net soos in die probleem met lang deling, stel u slegs in die volgende syfer in elke stap belang. Op hierdie manier stel u slegs belang in die volgende twee syfers in elke stap (wat die volgende syfer in elke stap vir die vierkantswortel is).
Stap 5. Vind die grootste getal waarvan die vierkante waarde kleiner is as of gelyk is aan Sa.
Die eerste syfer van A in ons antwoord is die grootste heelgetal waarvan die vierkante waarde S nie oorskry niea (dws A sodat A² Sa <(A+1) ²). In ons voorbeeld, S.a = 7, en 2² 7 <3², dus A = 2.
Let daarop dat as u byvoorbeeld 88962 deur 7 met 'n lang afdeling met 7 wil verdeel, die eerste stappe amper dieselfde is: u sien die eerste syfer van 88962 (wat 8 is) en u soek die grootste syfer wat, vermenigvuldig met 7, kleiner is as of gelyk is aan 8 Basies soek jy d sodat 7 × d 8 <7 × (d+1). In hierdie geval sal d gelyk wees aan 1
Stap 6. Stel jou die waarde voor van die vierkant aan wie se area jy gaan begin werk
Jou antwoord, die vierkantswortel van jou begingetal, is P, wat die lengte van die vierkant met oppervlakte S beskryf (jou beginnommer). U grade vir A, B, C verteenwoordig die syfers in die waarde van P. 'n Ander manier om dit te sê is 10A + B = P (vir 'n tweesyfer-antwoord), 100A + 10B + C = P (vir 'n drie- syfer -antwoord), ens.
In ons voorbeeld, (10A+B) ² = P2 = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Onthou dat 10A+B ons antwoord verteenwoordig, P, met B in die een -posisie en A in die tiene -posisie. Byvoorbeeld, met A = 1 en B = 2, dan is 10A+B gelyk aan 12. (10A+B) ² is die totale oppervlakte van die vierkant, terwyl 100A² is die oppervlakte van die grootste vierkant daarin, B² is die oppervlakte van die kleinste vierkant daarin, en 10A × B is die oppervlakte van die twee oorblywende reghoeke. Deur hierdie lang en ingewikkelde proses te doen, vind ons die totale oppervlakte van 'n vierkant deur die oppervlaktes van die vierkante en reghoeke binne te voeg.
Stap 7. Trek A² af van Sa.
Verminder een syfer (Sb) van S. Waarde van Sa Sb naby die totale oppervlakte van die vierkant, wat u net gebruik het om die groter binnekant af te trek. Die res kan as die getal N1 beskou word, wat ons in stap 4 gekry het (N1 = 380 in ons voorbeeld). N1 is gelyk aan 2 en tye: 10A × B + B² (oppervlakte van die twee reghoeke plus die oppervlakte van die kleiner vierkant).
Stap 8. Vind N1 = 2 × 10A × B + B², wat ook as N1 = (2 × 10A + B) × B
In ons voorbeeld ken u reeds N1 (380) en A (2), dus u moet vind B. B is waarskynlik nie 'n heelgetal nie, dus moet u regtig die grootste heelgetal B vind (2 × 10A + B) × B N1. U het dus: N1 <(2 × 10A+(B+1)) × (B+1).)
Stap 9. Voltooi
Om hierdie vergelyking op te los, vermenigvuldig A met 2, skuif die resultaat na die tiene posisie (die ekwivalent van vermenigvuldig met 10), plaas B in die een -posisie en vermenigvuldig die getal met B. Met ander woorde, los op (2 × 10A + B) × B. Dit is presies wat u doen as u "N_ × _ =" (met N = 2 × A) in die regterkantste kwadrant in stap 4. In stap 5 vind u die grootste heelgetal B wat ooreenstem met die getal daaronder sodat (2 × 10A + B) × B N1.
Stap 10. Trek die oppervlakte (2 × 10A + B) × B af van die totale oppervlakte
Hierdie aftrekking lei tot die gebied S- (10A+B) ² wat nie bereken is nie (en wat gebruik sal word om die volgende syfer op dieselfde manier te bereken).
Stap 11. Om die volgende syfer te bereken, C, herhaal die proses
Verlaag die volgende paar (Sc) van S om N2 aan die linkerkant te kry, en vind die grootste C sodat u (2 × 10 × (10A+B)+C) × C N2 (gelykstaande aan twee keer die tweesyfergetal "AB" skryf, gevolg deur "_ × _ =". Vind die grootste bypassende syfer in die spasies, wat 'n antwoord gee wat kleiner as of gelyk is aan N2, soos voorheen.
Wenke
- Deur 'n desimale punt met 'n veelvoud van twee syfers in 'n getal ('n veelvoud van 100) te skuif, beteken dit om 'n desimale punt met 'n veelvoud van een syfer in sy vierkantswortel te beweeg ('n veelvoud van 10).
- In hierdie voorbeeld kan 1,73 as '' res '' beskou word: 780, 14 = 27, 9² + 1,73.
- Hierdie metode kan vir enige basis gebruik word, nie net basis 10 (desimaal).
- U kan die berekening gebruik wat vir u die beste is. Sommige mense skryf die resultaat bo die aanvanklike getal.
- 'N Alternatiewe manier om herhaalde breuke te gebruik, is deur die volgende formule te volg: z = (x^2 + y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x + …))). Byvoorbeeld, om die vierkantswortel van 780, 14 te bereken, die heelgetal waarvan die kwadraatwaarde die naaste aan 780 is, is 14 28, dus z = 780, 14, x = 28 en y = -3, 86. Voer waardes in en die berekening van ramings slegs vir x + y/(2x) lewer (in eenvoudigste terme) 78207/20800 of ongeveer 27, 931 (1); volgende kwartaal, 4374188/156607 of ongeveer 27, 930986 (5). Elke term voeg ongeveer 3 desimale plekke by tot die akkuraatheid van die vorige aantal desimale plekke.
