Afgeleide instrumente kan gebruik word om nuttige eienskappe uit 'n grafiek af te lei, soos maksimum-, minimum-, piek-, dal- en hellingwaardes. U kan dit selfs gebruik om komplekse vergelykings te teken sonder 'n grafiese sakrekenaar! Ongelukkig is die werk aan afgeleides dikwels vervelig, maar hierdie artikel sal u help met 'n paar wenke en truuks.
Stap
Stap 1. Verstaan afgeleide notasie
Die volgende twee notasies word die algemeenste gebruik, hoewel baie ander hier op Wikipedia gevind kan word.
- Leibniz -notasie Hierdie notasie is die mees gebruikte notasie wanneer die vergelyking y en x behels. dy/dx beteken letterlik die afgeleide van y met betrekking tot x. Dit kan nuttig wees om dit as y/Δx te beskou vir baie verskillende waardes van x en y. Hierdie verduideliking lei tot die definisie van die afgeleide limiet: limh-> 0 (f (x+h) -f (x))/h. As u hierdie notasie vir die tweede afgeleide gebruik, moet u skryf: d2j/dx2.
- Lagrange -notasie Die afgeleide van die funksie f word ook as f '(x) geskryf. Hierdie notasie lees f aksent x. Hierdie notasie is korter as Leibniz se notasie, en is handig wanneer afgeleides as funksies beskou word. Om 'n groter afgeleide graad te vorm, voeg net 'by f' toe, sodat die tweede afgeleide f '' (x) sal wees.
Stap 2. Verstaan die betekenis van die afgeleide en die redes vir die afkoms
Eerstens, om die helling van 'n lineêre grafiek te vind, word twee punte op die lyn geneem en hul koördinate word in die vergelyking ingevoer (y2 - y1)/(x2 - x1). Dit kan egter slegs vir lineêre grafieke gebruik word. Vir kwadratiese vergelykings en hoër, sal die lyn 'n kromme wees, dus dit is nie baie akkuraat om die verskil tussen twee punte te vind nie. Om die helling van die raaklyn in 'n kurwe grafiek te vind, word twee punte geneem en in die algemene vergelyking geplaas om die helling van die kurwe grafiek te vind: [f (x + dx) - f (x)]/dx. Dx dui delta x aan, wat die verskil is tussen twee x koördinate op twee punte van die grafiek. Let daarop dat hierdie vergelyking dieselfde is as (y2 - y1)/(x2 - x1), slegs in 'n ander vorm. Aangesien dit bekend was dat die resultate onnauwkeurig sou wees, is 'n indirekte benadering toegepas. Om die helling van die raaklyn op (x, f (x)) te vind, moet dx naby 0 wees, sodat die twee getrekte punte in een punt saamsmelt. U kan egter nie 0 verdeel nie, dus sodra u die tweepuntwaardes ingevoer het, moet u factoring en ander metodes gebruik om dx van die onderkant van die vergelyking te verwyder. Sodra u dit gedoen het, maak dx 0 en u is klaar. Dit is die helling van die raaklyn op (x, f (x)). Die afgeleide van 'n vergelyking is die algemene vergelyking om die helling van enige raaklyn op 'n grafiek te bepaal. Dit lyk baie ingewikkeld, maar daar is 'n paar voorbeelde hieronder wat u kan verduidelik hoe u die afgeleide kan kry.
Metode 1 van 4: Eksplisiete Afgeleide instrumente
Stap 1. Gebruik 'n eksplisiete afgeleide as u vergelyking reeds y aan die een kant het
Stap 2. Koppel die vergelyking in die vergelyking [f (x + dx) - f (x)]/dx
Byvoorbeeld, as die vergelyking y = x is2, die afgeleide sal [(x + dx) wees2 - x2]/dx.
Stap 3. Brei uit en verwyder dx om die vergelyking [dx (2x + dx)]/dx te vorm
Nou kan u twee dx bo en onder gooi. Die resultaat is 2x + dx, en as dx nul nader, is die afgeleide 2x. Dit beteken dat die helling van enige raaklyn van die grafiek y = x2 is 2x. Voer die x-waarde in vir die punt waarvoor u die helling wil vind.
Stap 4. Leer patrone vir die afleiding van soortgelyke vergelykings
Hier is 'n paar voorbeelde.
- Enige eksponent is die krag maal die waarde, verhoog tot die krag minder as 1. Byvoorbeeld, die afgeleide van x5 is 5x4, en die afgeleide van x3, 5 iis3, 5x2, 5. As daar reeds 'n getal voor x is, vermenigvuldig dit net met die krag. Byvoorbeeld die afgeleide van 3x4 is 12x3.
- Die afgeleide van enige konstante is nul. Die afgeleide van 8 is dus 0.
- Die afgeleide van die som is die som van die onderskeie afgeleides. Byvoorbeeld, die afgeleide van x3 + 3x2 is 3x2 + 6x.
- Die afgeleide van die produk is die eerste faktor maal die afgeleide van die tweede faktor plus die tweede faktor keer die afgeleide van die eerste faktor. Byvoorbeeld, die afgeleide van x3(2x + 1) is x3(2) + (2x + 1) 3x2, wat gelyk is aan 8x3 + 3x2.
- Die afgeleide van die kwosiënt (sê f/g) is [g (afgeleide van f) - f (afgeleide van g)]/g2. Die afgeleide van (x2 + 2x - 21)/(x - 3) is (x2 - 6x + 15)/(x - 3)2.
Metode 2 van 4: Implisiete afgeleides
Stap 1. Gebruik implisiete afgeleides as u vergelyking nog nie met y aan die een kant geskryf kan word nie
Trouens, as u y aan die een kant skryf, is die berekening van dy/dx vervelig. Hier is 'n voorbeeld van hoe u hierdie tipe vergelyking kan oplos.
Stap 2. In hierdie voorbeeld, x2y + 2y3 = 3x + 2y, vervang y met f (x), sodat u sal onthou dat y eintlik 'n funksie is.
Die vergelyking word dan x2f (x) + 2 [f (x)]3 = 3x + 2f (x).
Stap 3. Om die afgeleide van hierdie vergelyking te vind, lei beide kante van die vergelyking af met betrekking tot x
Die vergelyking word dan x2f '(x) + 2xf (x) + 6 [f (x)]2f '(x) = 3 + 2f' (x).
Stap 4. Vervang f (x) weer met y
Wees versigtig om nie f '(x) te vervang nie, wat verskil van f (x).
Stap 5. Soek f '(x)
Die antwoord vir hierdie voorbeeld word (3 - 2xy)/(x2 + 6j2 - 2).
Metode 3 van 4: Afgeleides van hoër orde
Stap 1. Die afleiding van 'n funksie van hoër orde beteken dat u die afgeleide aflei (tot orde 2)
As die probleem u byvoorbeeld vra om 'n derde orde af te lei, neem dan die afgeleide van die afgeleide van die afgeleide. Vir sommige vergelykings sal die afgeleide van die hoër orde 0 wees.
Metode 4 van 4: Kettingreël
Stap 1. As y 'n differensiële funksie van z is, en z 'n differensiële funksie van x is, is y 'n saamgestelde funksie van x, en die afgeleide van y met betrekking tot x (dy/dx) is (dy/du)* (du/dx)
Die kettingreël kan ook 'n kombinasie van kragvergelykings wees, soos volg: (2x4 - x)3. Om die afgeleide te vind, dink net daaraan soos die vermenigvuldigingsreël. Vermenigvuldig die vergelyking met die krag en verminder met 1 tot die krag. Vermenigvuldig dan die vergelyking met die afgeleide van die vergelyking tussen hakies wat die krag verhoog (in hierdie geval 2x^4 - x). Die antwoord op hierdie vraag is 3 (2x4 - x)2(8x3 - 1).
Wenke
- Moenie bekommerd wees as u 'n moeilike probleem oplos nie. Probeer dit net in soveel kleiner dele as moontlik verdeel deur die reëls van vermenigvuldiging, kwosiënt, ens. Verlaag dan elke deel.
- Oefen met die vermenigvuldigingsreël, die kwosiëntreël, die kettingreël en veral implisiete afgeleides, omdat hierdie reëls baie moeiliker is in berekening.
- Verstaan u sakrekenaar goed; probeer die verskillende funksies in u sakrekenaar om te leer hoe u dit kan gebruik. Dit is baie handig om te weet hoe om raaklyne en afgeleide funksies in u sakrekenaar te gebruik as dit beskikbaar is.
- Onthou die basiese trigonometriese afgeleides en hoe om dit te gebruik.
