Hoe om implisiete funksies af te lei: 7 stappe (met foto's)

2024 Outeur: Jason Gerald | [email protected]. Laas verander: 2024-01-16 19:05

In berekening, as u 'n vergelyking vir y het in die vorm x (bv. Y = x² -3x), is dit maklik om basiese afleidingstegnieke te gebruik (deur wiskundiges na verwys as implisiete funksie -afgeleide tegnieke) om die afgeleide te vind. Vir vergelykings wat moeilik is om op te stel met slegs die y -term aan die een kant van die gelykteken (bv² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19), is 'n ander benadering nodig. Met 'n tegniek genaamd implisiete funksie-afgeleides, is dit maklik om afgeleides van multi-veranderlike vergelykings te vind, solank jy die basiese beginsels van eksplisiete funksie-afgeleides ken!

Stap

Metode 1 van 2: Lei eenvoudige vergelykings vinnig af

Stap 1. Lei die x -terme soos gewoonlik af

As u 'n multi-veranderlike vergelyking soos x probeer aflei² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19, kan dit moeilik wees om te weet waar om te begin. Gelukkig is die eerste stap van die afgeleide van 'n implisiete funksie die maklikste. Leer eers die x-terme en die konstantes aan beide kante van die vergelyking af volgens die reëls van gewone (eksplisiete) afgeleides. Ignoreer voorlopig die y-terme.

• Kom ons probeer 'n voorbeeld van die eenvoudige vergelyking hierbo aflei. x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19 het twee terme x: x² en -5x. As ons 'n vergelyking wil aflei, moet ons dit eers doen, soos volg:

  x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19

  (Verlaag tot die krag van 2 in x² as koëffisiënt, verwyder x in -5x, en verander 19 na 0)

  2x + j² - 5 + 8y + 2xy² = 0

Stap 2. Lei die y terme af en voeg (dy/dx) langs elke term by

Vir u volgende stap, lei die y -terme af op dieselfde manier as wat u die x -terme afgelei het. Hierdie keer moet u (dy/dx) by elke term voeg, net soos u koëffisiënte byvoeg. Byvoorbeeld, as jy y verlaag², dan word die afgeleide 2y (dy/dx). Ignoreer die terme wat x en y het vir eers.

• In ons voorbeeld lyk ons vergelyking nou so: 2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0. Ons sal die volgende stap van die afleiding van y soos volg uitvoer:

  2x + j² - 5 + 8y + 2xy² = 0

  (Verlaag tot die krag van 2 in y² as koëffisiënte, verwyder y in 8y en sit dy/dx langs elke term).

  2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy²= 0

Stap 3. Gebruik die produkreël of die kwosiëntreël vir terme met x en y

Dit is 'n bietjie lastig om met terme met x en y te werk, maar as u die reëls vir die produk en die kwosiënt vir afgeleides ken, sal u dit maklik vind. As die terme x en y vermenigvuldig word, gebruik die produkreël ((f × g) '= f' × g + g × f '), vervang die x -term vir f en die y -term vir g. Aan die ander kant, as die terme x en y mekaar uitsluit, gebruik die kwosiëntreël ((f/g) '= (g × f' - g '× f)/g²), deur die teller te vervang met f en die noemer vir g.

• In ons voorbeeld, 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy² = 0, ons het slegs een term met x en y - 2xy². Aangesien x en y met mekaar vermenigvuldig word, gebruik ons die produkreël as volg:

  2xy² = (2x) (y²)- stel 2x = f en y² = g in (f × g) '= f' × g + g × f '

  (f × g) '= (2x)' × (y²) + (2x) × (y²)'

  (f × g) '= (2) × (y²) + (2x) × (2y (dy/dx))

  (f × g) '= 2j² + 4xy (dy/dx)

• As ons dit by ons hoofvergelyking voeg, kry ons 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y² + 4xy (dy/dx) = 0

Stap 4. Alleen (dy/dx)

Jy's amper klaar! Al wat u hoef te doen is om die vergelyking (dy/dx) op te los. Dit lyk moeilik, maar dit is gewoonlik nie - onthou dat twee terme a en b vermenigvuldig word met (dy/dx) as (a + b) (dy/dx) geskryf kan word as gevolg van die distributiewe eienskap van vermenigvuldiging. Hierdie taktiek kan isolasie (dy/dx) makliker maak - skuif al die ander terme aan die ander kant van die hakies, en deel dan deur die terme tussen die hakies langs (dy/dx).

• In ons voorbeeld vereenvoudig ons 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y² + 4xy (dy/dx) = 0 soos volg:

  2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y² + 4xy (dy/dx) = 0

  (2y + 8 + 4xy) (dy/dx) + 2x - 5 + 2y² = 0

  (2y + 8 + 4xy) (dy/dx) = -2y² - 2x + 5

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2y + 8 + 4xy)

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)

Metode 2 van 2: Gebruik gevorderde tegnieke

Stap 1. Voer die waarde (x, y) in om (dy/dx) vir enige punt te vind

Veilig! U het u vergelyking reeds implisiet afgelei - nie 'n maklike taak met die eerste probeerslag nie! Die gebruik van hierdie vergelyking om die gradiënt (dy/dx) vir enige punt (x, y) te vind, is net so maklik as om die x- en y -waardes vir u punt aan die regterkant van die vergelyking te koppel en dan (dy/dx) te vind.

• Gestel ons wil byvoorbeeld die gradiënt op die punt (3, -4) vind vir ons voorbeeldvergelyking hierbo. Om dit te doen, vervang ons 3 vir x en -4 vir y en los soos volg op:

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)

  (dy/dx) = (-2 (-4)² - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)

  (dy/dx) = (-2 (16)-6 + 5)/(2 (2 (3) (-4))

  (dy/dx) = (-32)-6 + 5)/(2 (2 (-12))

  (dy/dx) = (-33)/(2 (2 (-12))

  (dy/dx) = (-33)/(--48) = 3/48, of 0, 6875.

Stap 2. Gebruik die kettingreël vir funksies-binne-funksies

Die kettingreël is 'n belangrike kennis wat u moet hê wanneer u aan rekenprobleme werk (insluitend implisiete funksie -afgeleide probleme). Die kettingreël bepaal dat vir 'n funksie F (x) wat as (f o g) (x), die afgeleide van F (x) is gelyk aan f '(g (x)) g' (x). Vir moeilike implisiete funksie afgeleide probleme beteken dit dat dit moontlik is om die verskillende individuele dele van die vergelyking af te lei en dan die resultate te kombineer.

• As 'n eenvoudige voorbeeld, veronderstel dat ons die afgeleide van sonde moet vind (3x² + x) as deel van die groter implisiete funksie afgeleide probleem vir die vergelyking sin (3x² + x) + y³ = 0. As ons ons sonde voorstel (3x² + x) as f (x) en 3x² + x as g (x), kan ons die afgeleide soos volg vind:

  f '(g (x)) g' (x)

  (sonde (3x² + x)) '× (3x² +x) '

  want (3x² + x) × (6x + 1)

  (6x + 1) cos (3x² +x)

Stap 3. Vir vergelykings met die veranderlikes x, y en z, vind (dz/dx) en (dz/dy)

Alhoewel dit in basiese berekeninge ongewoon is, kan sommige gevorderde toepassings die afleiding van implisiete funksies van meer as twee veranderlikes vereis. Vir elke bykomende veranderlike moet u die bykomende afgeleide vind met betrekking tot x. As u byvoorbeeld x, y en z het, moet u beide (dz/dy) en (dz/dx) soek. Ons kan dit doen deur die vergelyking ten opsigte van x twee keer af te lei - eerstens voer ons (dz/dx) in elke keer as ons 'n term met z aflei, en tweedens voeg ons (dz/dy) in elke keer as ons aflei Z. Hierna is dit net om op te los (dz/dx) en (dz/dy).

• Byvoorbeeld, laat ons sê ons probeer x aflei³Z² - 5xy⁵z = x² + y³.

• Laat ons eers teen x aflei en tik (dz/dx). Moenie vergeet om die produkreël, indien nodig, toe te pas nie!

  x³Z² - 5xy⁵z = x² + y³

  3x²Z² + 2x³z (dz/dx) - 5 jaar⁵z - 5xy⁵(dz/dx) = 2x

  3x²Z² + (2x³z - 5xy⁵) (dz/dx) - 5 jaar⁵z = 2x

  (2x³z - 5xy⁵) (dz/dx) = 2x - 3x²Z² + 5j⁵Z

  (dz/dx) = (2x - 3x²Z² + 5j⁵z)/(2x³z - 5xy⁵)

• Doen nou dieselfde vir (dz/dy)

  x³Z² - 5xy⁵z = x² + y³

  2x³z (dz/dy) - 25xy⁴z - 5xy⁵(dz/dy) = 3 jaar²

  (2x³z - 5xy⁵) (dz/dy) = 3y² + 25xy⁴Z

  (dz/dy) = (3j² + 25xy⁴z)/(2x³z - 5xy⁵)