Die stelling van Pythagoras beskryf die lengtes van die sye van 'n regte driehoek op 'n elegante en praktiese manier, dus word hierdie stelling vandag nog wyd gebruik. Hierdie stelling bepaal dat die som van die vierkante van die nie-hoekige sye vir enige reghoekige driehoek gelyk is aan die vierkant van die skuinssy. Met ander woorde, vir 'n reghoekige driehoek met loodregte sye a en b en skuinssy c, a2 + b2 = c2.
Die stelling van Pythagoras is een van die basiese pilare van elementêre meetkunde. Daar is talle toepassings wat hierdie stelling gebruik, byvoorbeeld om die afstand tussen twee punte op 'n koördinaatvlak maklik te vind.
Stap
Metode 1 van 2: Soek die kante van 'n regte driehoek
Stap 1. Maak seker dat u driehoek 'n regte driehoek is
Die stelling van Pythagoras is slegs van toepassing op regte driehoeke, dus voordat u verder gaan, is dit baie belangrik om seker te maak dat u driehoeke ooreenstem met die eienskappe van regte driehoeke. Gelukkig is daar een faktor wat kan aandui dat u driehoek 'n regte driehoek is. Jou driehoek moet een hoek van 90 grade hê.
As teken word reghoekige driehoeke dikwels met klein vierkante gemerk om hoeke van 90 grade te merk, sonder om geboë "krommes" te gebruik. Soek hierdie spesifieke punt in die hoek van u driehoek
Stap 2. Gee die veranderlikes a, b en c vir die sye van jou driehoek
In die Pythagorese stelling stel die veranderlikes a en b die sye voor wat by die regte driehoek ontmoet, terwyl die veranderlike c die skuinssy voorstel - die langkant teenoor die regte hoek. Om mee te begin, merk die kort sye van u driehoek met die veranderlikes a en b (dit maak nie saak of u dit omruil nie) en merk die skuinssy met die veranderlike c.
Stap 3. Besluit watter kant van die driehoek jy wil oplos
Die Pythagorese stelling stel wiskundiges in staat om die lengte van enige sy van 'n regte driehoek te bepaal, solank hulle die lengtes van die ander twee sye ken. Bepaal watter kant onbekend is - a, b en/of c. As die lengte van een van u kante onbekend is, is u gereed om verder te gaan.
- Ons weet byvoorbeeld dat die lengte van die skuinssy van 'n driehoek 5 is en die lengte van een van die ander sye 3, maar ons is nie seker oor die lengte van die derde sy nie. In hierdie geval weet ons dat ons op soek is na die lengte van die derde kant, en aangesien ons die lengtes van die ander twee ken, kan ons dit oplos! Ons sal met die volgende stappe aan hierdie probleem werk.
- As u nie die lengtes van twee kante ken nie, moet u een van die sye ken om die stelling van Pythagoras te kan gebruik. Basiese trigonometriese funksies kan u help as u die een kant van 'n driehoek ken wat nie skuins is nie.
Stap 4. Koppel die tweesydige waardes wat u reeds ken, in die vergelyking
Koppel die lengtes van die sye van u driehoek in die vergelyking a2 + b2 = c2. Onthou dat a en b nie-skuins sye is, terwyl c die skuinssy is.
In ons voorbeeld ken ons die lengte van een van die sye en die skuinssy (3 & 5), sodat die vergelyking word 3² + b² = 5²
Stap 5. Vierkantig
Om u vergelyking op te los, begin deur die bekende sye te vierkantig. Alternatiewelik, as u dit makliker vind, kan u u sylengtes vierkantig laat staan en later vierkantig maak.
-
In ons voorbeeld sal ons vierkant 3 en 5 vierkantig kry, sodat ons kry
Stap 9. da
Stap 25.. Ons kan die vergelyking as 9 + b² = 25 skryf.
Stap 6. Skuif die onbekende veranderlike na die ander kant van die vergelyking
Indien nodig, gebruik basiese algebraïese bewerkings om die onbekende veranderlike na die ander kant van die vergelyking te laat beweeg en die vierkant van die ander twee veranderlikes na die ander kant. As u die lengte van die skuinssy wil vind, is c reeds aan die ander kant van die vergelyking, sodat u niks hoef te doen om dit te skuif nie.
In ons voorbeeld is die huidige vergelyking 9 + b² = 25. Om b² te beweeg, trek beide kante van die vergelyking met 9 af, sodat die resultaat b² = 16 is
Stap 7. Vierkantswortel van beide kante van die vergelyking
Nou is slegs een veranderlike in die vierkant aan die een kant en die getal aan die ander kant. Vierkantswortel aan beide kante om die lengte van die onbekende sy te bepaal.
-
In ons voorbeeld, b² = 16, neem die vierkantswortel van beide kante b = 4. Dus kan ons sê dat die lengte van die onbekende sy van die driehoek
Stap 4..
Stap 8. Gebruik die Pythagorese stelling om die sye van 'n regte reghoekige driehoek te vind
Die rede waarom die Pythagorese stelling vandag wyd gebruik word, is omdat dit toegepas kan word op ontelbare praktiese situasies. Leer om die regte driehoeke in die werklike lewe te ken - in elke situasie waarin twee voorwerpe of reguit lyne 'n regte hoek ontmoet en die derde voorwerp of lyn diagonaal by die twee voorwerpe of lyne aansluit, kan u die Pythagorese stelling gebruik om die lengte van die sy te bepaal die ander, as die lengtes van die ander twee sye bekend is.
-
Kom ons probeer 'n werklike voorbeeld wat 'n bietjie moeiliker is. 'N Leer leun teen 'n gebou. Die afstand van die onderkant van die trap na die muur is 5 meter. Die hoogte van die trap bereik 20 meter. Hoe lank is die leer?
-
5 meter van die muur en 20 meter hoog vertel ons die lengtes van die sye van die driehoek. Aangesien die muur en die grond (veronderstel) 'n regte hoek vorm en die leer skuins teen die muur gestut word, kan hierdie rangskikking beskou word as 'n regte driehoek met sylengtes a = 5 en b = 20. Die lengte van die leer is die skuinssy, dus is die waarde van c nie bekend nie. Kom ons gebruik die Pythagorese stelling:
- a² + b² = c²
- (5) ² + (20) ² = c²
- 25 + 400 = c²
- 425 = c²
- wortel (425) = c
- c = 20,6. Die geskatte lengte van die leer is 20,6 meter.
-
Metode 2 van 2: Bereken die afstand tussen twee punte in die XY-vliegtuig
Stap 1. Soek twee punte in die X-Y-vlak
Die Pythagorese stelling kan maklik gebruik word om die reguitlynafstand tussen twee punte in die XY-vlak te bereken. Al wat u moet weet is die x- en y -koördinate van die twee punte. Gewoonlik word hierdie koördinate saamgeskryf in die vorm (x, y).
Om die afstand tussen hierdie twee punte te bepaal, beskou ons elke punt as een van die nie-regte hoeke van 'n regte driehoek. Deur dit te doen, is dit makliker om die lengtes van sye a en b te vind en dan die skuinssy c te bereken, wat die afstand tussen die twee punte is
Stap 2. Teken jou twee punte in die prent
In 'n gewone X-Y vlak stel elke punt (x, y), x 'n horisontale koördinaat voor en y stel 'n vertikale koördinaat voor. U kan die afstand tussen die twee punte vind sonder om dit te teken, maar dit gee u 'n visuele beeld wat u kan gebruik om te sien of u antwoord korrek is.
Stap 3. Vind die lengte van die nie-skuins kant van jou driehoek
Gebruik die twee punte as die hoeke van die driehoek aangrensend aan die skuinssy, en vind die lengtes van die sye a en b van die driehoek. U kan dit doen met behulp van 'n prent of die formule | x1 - x2| vir die horisontale sy en | y1 - y2| vir die vertikale kant, met (x1, y1) as die eerste punt en (x2, y2) as die tweede punt.
-
Laat ons twee punte (6, 1) en (3, 5) wees. Die lengte van die horisontale sy van ons driehoek is:
- | x1 - x2|
- |3 - 6|
-
| -3 | =
Stap 3.
-
Die lengte van die vertikale sy is:
- | y1 - y2|
- |1 - 5|
-
| -4 | =
Stap 4.
- Dus, in ons reghoekige driehoek, sy a = 3 en sy b = 4.
Stap 4. Gebruik die Pythagorese stelling om die lengte van die skuinssy te bepaal
Die afstand tussen twee punte is die lengte van die skuinssy van die driehoek waarvan jy net twee kante gevind het. Gebruik die stelling van Pythagoras om die skuinssy te vind, waar a die lengte van die eerste kant is en b die lengte van die tweede sy.
-
In ons voorbeeld gebruik ons die punte (3, 5) en (6, 1) waarvan die sylengtes 3 en 4 is, sodat ons die skuinssy soos volg kan vind:
-
- (3) ²+(4) ² = c²
- c = wortel (9+16)
- c = wortel (25)
-
c = 5. Die afstand tussen (3, 5) en (6, 1) is
Stap 5..
-
Wenke
-
Die skuinssy is altyd:
- teenoor die regte hoek (sonder om die regte hoek aan te raak)
- langste sy in 'n reghoekige driehoek
- c genoem in die stelling van Pythagoras
- wortel (x) beteken die vierkantswortel van x.
- Onthou om altyd u antwoorde na te gaan. As u antwoord verkeerd lyk, probeer weer en probeer weer.
- As die driehoek nie 'n regte driehoek is nie, benodig u bykomende inligting, nie net die lengtes van die ander twee sye nie.
- Nog 'n manier om te kontroleer: die langste kant is teenoor die grootste hoek en die kortste kant teenoor die kleinste hoek.
- Syfers is die sleutel om die korrekte waardes vir a, b en c neer te skryf. As u aan 'n storieprobleem werk, moet u die probleem eers in prentjievorm neerskryf.
- As u net die lengte van die een kant ken, werk die Pythagorese stelling nie. Gebruik trigonometrie (sin, cos, tan) of 30-60-90 / 45-45-90 verhoudings.
