Wiskundige studente word gereeld gevra om hul antwoorde in hul eenvoudigste vorm neer te skryf - met ander woorde om die antwoorde so elegant moontlik neer te skryf. Alhoewel lang, styf en kort, sowel as elegant, vergelykings tegnies dieselfde is, word 'n wiskundige probleem dikwels nie as volledig beskou as die finale antwoord nie tot sy eenvoudigste vorm verminder word nie. Die antwoord in sy eenvoudigste vorm is ook byna altyd die maklikste vergelyking om mee te werk. Om hierdie rede is dit 'n belangrike vaardigheid vir wiskundiges om te leer hoe om vergelykings te vereenvoudig.
Stap
Metode 1 van 2: Gebruik operasievolgorde
Stap 1. Ken die volgorde van bedrywighede
As u wiskundige uitdrukkings vereenvoudig, kan u nie net van links na regs werk nie, vermenigvuldig, optel, aftrek, ensovoorts in volgorde van links na regs. Sommige wiskundige bewerkings moet voorrang geniet bo ander en moet eers gedoen word. In werklikheid kan die verkeerde antwoord die verkeerde antwoord gee. Die volgorde van bewerkings is: die deel tussen hakies, die eksponent, die vermenigvuldiging, die deling, die optelling en laastens die aftrekking. 'N Akroniem wat u kan gebruik om te onthou, is Omdat moeder nie goed, boos en arm is nie.
Let daarop dat, hoewel basiese kennis van die volgorde van bewerkings die mees basiese vergelykings kan vereenvoudig, spesiale tegnieke nodig is om baie veranderlike vergelykings te vereenvoudig, insluitend byna alle polinome. Sien die volgende tweede metode vir meer inligting
Stap 2. Begin deur al die gedeeltes tussen hakies te voltooi
In wiskunde dui hakies aan dat die binneste deel apart bereken moet word van die uitdrukking wat buite die hakies is. Maak nie saak watter bewerkings binne die hakies is nie, maak eers die deel binne die hakies voltooi as u 'n vergelyking wil vereenvoudig. Byvoorbeeld, tussen hakies moet u vermenigvuldig voordat u optel, aftrek, ensovoorts.
-
Kom ons probeer byvoorbeeld om die vergelyking 2x + 4 (5 + 2) + 3 te vereenvoudig2 - (3 + 4/2). In hierdie vergelyking moet ons eers die deel binne die hakies, naamlik 5 + 2 en 3 + 4/2, oplos. 5 + 2 =
Stap 7.. 3 + 4/2 = 3 + 2
Stap 5
Die deel in die tweede hakie word vereenvoudig tot 5 omdat ons volgens die volgorde van bewerkings eers 4/2 tussen die hakies verdeel. As ons net van links na regs werk, voeg ons eers 3 en 4 by, dan deel ons met 2 en gee die verkeerde antwoord 7/2
- Let wel: as daar tussen hakies veelvoudige hakies is, voltooi die gedeelte in die binneste hakie, dan die tweede binneste, ensovoorts.
Stap 3. Los die eksponent op
Nadat u die hakies voltooi het, los die eksponent van u vergelyking op. Dit is maklik om te onthou, want in eksponente is die basisgetal en die krag aan die krag langs mekaar. Soek die antwoord op elke deel van die eksponent, en koppel dan u antwoord in die vergelyking om die eksponentdeel te vervang.
Nadat ons die deel tussen hakies voltooi het, word ons voorbeeldvergelyking nou 2x + 4 (7) + 32 - 5. Die enigste eksponensiaal in ons voorbeeld is 32, wat gelyk is aan 9. Voeg hierdie resultaat by u vergelyking om 3 te vervang2 wat lei tot 2x + 4 (7) + 9 - 5.
Stap 4. Los die vermenigvuldigingsprobleem in u vergelyking op
Doen dan die vermenigvuldiging wat nodig is in u vergelyking. Onthou dat vermenigvuldiging op verskillende maniere geskryf kan word. Die × kolletjie of sterretjie -simbool is 'n manier om vermenigvuldiging aan te toon. 'N Getal langs hakies of 'n veranderlike (soos 4 (x)) verteenwoordig egter ook 'n vermenigvuldiging.
-
Daar is twee dele om te vermenigvuldig in ons probleem: 2x (2x is 2xx) en 4 (7). Ons weet nie die waarde van x nie, dus laat ons dit net op 2x. 4 (7) = 4 × 7 =
Stap 28.. Ons kan ons vergelyking herskryf tot 2x + 28 + 9 - 5.
Stap 5. Gaan na afdeling
As u op soek is na delingsprobleme in u vergelykings, moet u in gedagte hou dat divisie, net soos vermenigvuldiging, op verskillende maniere geskryf kan word. Een hiervan is die simbool, maar hou in gedagte dat strepies en strepies soos in breuke (bv. 3/4) ook dui op verdeling.
Omdat ons reeds die verdeling (4/2) gedoen het toe ons die dele tussen hakies voltooi het. Ons voorbeeld het nie reeds 'n delingsprobleem nie, so ons sal hierdie stap oorslaan. Dit toon 'n belangrike punt: u hoef nie al die bewerkings uit te voer as u 'n uitdrukking vereenvoudig nie, slegs die bewerkings in u probleem
Stap 6. Voeg dan alles in u vergelyking by
U kan van links na regs werk, maar dit is makliker om eers die maklik by te voeg getalle by te voeg. Byvoorbeeld, in die probleem 49 + 29 + 51 + 71, is dit makliker om 49 + 51 = 100, 29 + 71 = 100 en 100 + 100 = 200 by te voeg as 49 + 29 = 78, 78 + 51 = 129, en 129 + 71 = 200.
Ons voorbeeldvergelyking is gedeeltelik vereenvoudig tot 2x + 28 + 9 - 5. Nou moet ons die getalle bymekaar tel wat ons kan optel - kom ons kyk na elke optelprobleem van links na regs. Ons kan nie 2x en 28 byvoeg nie, omdat ons nie die waarde van x ken nie, so ons sal dit net oorslaan. 28 + 9 = 37, kan herskryf word as 2x + 37 - 5.
Stap 7. Die laaste stap van die volgorde van bewerkings is aftrekking
Gaan voort met u probleem deur die oorblywende aftrekprobleme op te los. U kan moontlik aan aftrekking dink as die optel van negatiewe getalle in hierdie stap, of dieselfde stappe gebruik as vir 'n gereelde optelprobleem - u keuse beïnvloed nie u antwoord nie.
-
In ons probleem, 2x + 37 - 5, is daar slegs een aftrekprobleem. 37 - 5 =
Stap 32.
Stap 8. Gaan jou vergelyking na
Nadat u die volgorde van bewerkings opgelos het, moet u vergelyking in sy eenvoudigste vorm vereenvoudig word. As u vergelyking egter een of meer veranderlikes bevat, moet u verstaan dat daar nie aan u veranderlikes gewerk hoef te word nie. Om 'n veranderlike te vereenvoudig, moet u die waarde van u veranderlike vind of spesiale tegnieke gebruik om die uitdrukking te vereenvoudig (sien stap hieronder).
Ons finale antwoord is 2x + 32. Ons kan hierdie finale optelling nie oplos tensy ons die waarde van x ken nie, maar as ons die waarde daarvan ken, sou hierdie vergelyking baie makliker wees om op te los as ons lang oorspronklike vergelyking
Metode 2 van 2: Vereenvoudiging van komplekse vergelykings
Stap 1. Tel die dele by wat dieselfde veranderlike het
By die oplossing van veranderlike vergelykings, onthou dat dele met dieselfde veranderlike en eksponent (of dieselfde veranderlike) soos normale getalle bygevoeg en afgetrek kan word. Hierdie deel moet dieselfde veranderlike en eksponent hê. Byvoorbeeld, 7x en 5x kan bygevoeg word, maar 7x en 5x2 kan nie bygevoeg word nie.
- Hierdie reël geld ook vir sommige veranderlikes. Byvoorbeeld, 2xy2 kan opgesom word deur -3xy2, maar kan nie met -3x opgesom word nie2y of -3y2.
- Sien vergelyking x2 + 3x + 6 - 8x. In hierdie vergelyking kan ons 3x en -8x byvoeg omdat hulle dieselfde veranderlike en eksponent het. Die eenvoudige vergelyking word x2 - 5x + 6.
Stap 2. Vereenvoudig breukgetalle deur die faktore te deel of deur te steek
Breuke wat slegs getalle (en geen veranderlikes) in die teller en noemer het nie, kan op verskeie maniere vereenvoudig word. Die eerste, en miskien die maklikste, is om die breuk as 'n delingsprobleem te beskou en die noemer deur die teller te deel. Enige vermenigvuldigingsfaktor wat in die teller en die noemer voorkom, kan ook deurgetrek word omdat die verdeling van die twee faktore die getal 1 tot gevolg het.
Kyk byvoorbeeld na die breuk 36/60. As ons 'n sakrekenaar het, kan ons dit verdeel om die antwoord te kry 0, 6. As ons egter nie 'n sakrekenaar het nie, kan ons dit steeds vereenvoudig deur dieselfde faktore deur te steek. 'N Ander manier om 36/60 voor te stel, is (6 × 6)/(6 × 10). Hierdie breuk kan as 6/6 × 6/10 geskryf word. 6/6 = 1, dus is ons breuk eintlik 1 × 6/10 = 6/10. Ons is egter nog nie klaar nie - beide 6 en 10 het dieselfde faktor, naamlik 2. As die bogenoemde metode herhaal word, word die resultaat 3/5.
Stap 3. Kruis al die faktore van die veranderlike op die veranderlike breuk
Veranderlike vergelykings in breukvorm het 'n unieke manier om te vereenvoudig. Net soos gewone breuke, kan veranderlike breuke faktore wat die teller sowel as die noemer gemeen het, uitskakel. In veranderlike breuke kan hierdie faktore egter getalle en vergelykings van die werklike veranderlike wees.
- Kom ons sê die vergelyking (3x2 + 3x)/(-3x2 Hierdie breuk kan geskryf word as (x + 1) (3x)/(3x) (5 - x), 3x verskyn in beide die teller en die noemer. Deur hierdie faktore uit die vergelyking te kruis, word die resultaat (x + 1)/(5 - x). Dieselfde as in uitdrukking (2x2 + 4x + 6)/2, aangesien elke deel deelbaar is deur 2, kan ons die vergelyking skryf as (2 (x2 + 2x + 3)))/2 en vereenvoudig dan tot x2 + 2x + 3.
- Let daarop dat u nie alle gedeeltes kan deurstreep nie - u kan slegs die vermenigvuldigingsfaktore wat in die teller en noemer verskyn, deurstreep. Byvoorbeeld, in die uitdrukking (x (x + 2))/x kan x van beide die teller en die noemer gekruisig word, sodat dit (x + 2)/1 = (x + 2) word. (X + 2)/x kan egter nie onderstreep word na 2/1 = 2 nie.
Stap 4. Vermenigvuldig die deel tussen hakies met die konstante
As u die deel met die veranderlike tussen hakies met 'n konstante vermenigvuldig, kan elke deel in die hakies soms met 'n konstante vermenigvuldig word tot 'n eenvoudiger vergelyking. Dit geld vir konstantes wat slegs uit getalle bestaan en konstantes met veranderlikes.
- Byvoorbeeld, vergelyking 3 (x2 + 8) kan tot 3x vereenvoudig word2 + 24, terwyl 3x (x2 + 8) kan tot 3x vereenvoudig word3 + 24x.
- Let op dat in sommige gevalle, soos veranderlike breuke, konstante rondom die hakies deurgetrek kan word, sodat hulle nie hoef te vermenigvuldig word met die deel tussen die hakies nie. In breuke (3 (x2 + 8))/3x, byvoorbeeld, die faktor 3 verskyn in beide die teller en die noemer, sodat ons dit kan deursteek en die uitdrukking kan vereenvoudig na (x2 + 8)/x. Hierdie uitdrukking is eenvoudiger en makliker om mee te werk as (3x3 + 24x)/3x, wat die resultaat is wat ons kry as ons dit vermenigvuldig.
Stap 5. Vereenvoudig deur faktorisering
Factoring is 'n tegniek wat gebruik kan word om sommige veranderlike uitdrukkings, insluitend polinoom, te vereenvoudig. Dink aan factoring as die teenoorgestelde van vermenigvuldiging met die deel tussen hakies in die stap hierbo - soms kan 'n uitdrukking beskou word as twee dele wat met mekaar vermenigvuldig word, eerder as 'n eenheidsuitdrukking. Dit is veral waar as u 'n vergelyking met 'n vergelyking toelaat om een van die dele daarvan deur te trek (soos in breuke). In sekere gevalle (dikwels met kwadratiese vergelykings) kan factoring u selfs toelaat om die oplossing vir die vergelyking te vind.
- Laat ons weer die uitdrukking x aanneem2 - 5x + 6. Hierdie uitdrukking kan in berekening gebring word na (x - 3) (x - 2). Dus, as x2 - 5x + 6 is die teller van 'n gegewe vergelyking waar die noemer een van hierdie faktore het, soos in die uitdrukking (x2 - 5x + 6)/(2 (x - 2)), kan ons dit in faktorvorm skryf, sodat ons die faktor met die noemer kan deursteek. Met ander woorde, in (x - 3) (x - 2)/(2 (x - 2)) kan die deel (x - 2) onderstreep word as (x - 3)/2.
-
Soos hierbo aangedui, is 'n ander rede waarom u u vergelykings wil faktoriseer, dat factoring u antwoorde op sekere vergelykings kan gee, veral as dit as gelyke 0 geskryf word. Byvoorbeeld, vergelyking x2 - 5x + 6 = 0. Factoring gee (x - 3) (x - 2) = 0. Aangesien enige getal vermenigvuldig met nul gelyk is aan nul, weet ons dat as enige deel van die hakies gelyk is aan nul, al die vergelyking links van die gelykteken, is ook nul. Sodat
Stap 3. da
Stap 2. is die twee antwoorde op die vergelyking.
