'N Komplekse breuk is 'n breuk waarin die teller, noemer of albei ook 'n breuk bevat. Om hierdie rede word daar soms na komplekse breuke verwys as "gestapelde breuke". Dit kan maklik of moeilik wees om komplekse breuke te vereenvoudig, afhangende van hoeveel getalle in die teller en noemer is, of een van die getalle 'n veranderlike is, of die kompleksiteit van die veranderlike getal. Sien stap 1 hieronder om aan die gang te kom!
Stap
Metode 1 van 2: Vereenvoudiging van komplekse breuke met omgekeerde vermenigvuldiging
Stap 1. Vereenvoudig die teller en noemer tot 'n enkele breuk indien nodig
Komplekse breuke is nie altyd moeilik om op te los nie. Trouens, komplekse breuke waarvan die teller en die noemer 'n enkele breuk bevat, is redelik maklik om op te los. Dus, as die teller of noemer (of albei) van 'n komplekse breuk veelvoudige breuke of breuke en 'n heelgetal bevat, vereenvoudig dit om 'n enkele breuk in beide die teller en die noemer te kry. Vind die minste algemene veelvoud (LCM) van twee of meer breuke.
-
Gestel ons wil byvoorbeeld 'n komplekse breuk (3/5 + 2/15)/(5/7 - 3/10) vereenvoudig. Eerstens sal ons die teller en die noemer van 'n komplekse breuk vereenvoudig in 'n enkele breuk.
- Om die teller te vereenvoudig, gebruik die LCM 15 verkry deur 3/5 met en 3/3 te vermenigvuldig. Die teller sal 9/15 + 2/15 wees, wat gelyk is aan 11/15.
- Om die noemer te vereenvoudig, gebruik ons die LCM -resultaat van 70 wat verkry word deur 5/7 te vermenigvuldig met 10/10 en 3/10 met 7/7. Die noemer sal 50/70 - 21/70 wees, wat gelyk is aan 29/70.
- Die nuwe komplekse breuk is dus (11/15)/(29/70).
Stap 2. Draai die noemer om om sy wederkerigheid te vind
Per definisie is die deel van een getal met 'n ander dieselfde as om die eerste getal te vermenigvuldig met die wederkerige van die tweede getal. Noudat ons 'n komplekse breuk met 'n enkele breuk in beide die teller en die noemer het, sal ons hierdie afdeling gebruik om die komplekse breuk te vereenvoudig. Soek eers die wederkerigheid van die breuk onderaan die komplekse breuk. Doen dit deur die breuk te "omkeer" - die teller in die plek van die noemer te plaas en omgekeerd.
-
In ons voorbeeld is die breuk in die noemer van die komplekse breuk (11/15)/(29/70) 29/70. Om die omgekeerde te vind, "omkeer" ons dit sodat ons dit kry 70/29.
Let op dat as 'n komplekse breuk 'n heelgetal in die noemer het, ons dit as 'n breuk kan beskou en die wederkerigheid daarvan kan vind. Byvoorbeeld, as die komplekse breuk (11/15)/(29) is, kan ons die noemer 29/1 maak, wat beteken dat die wedersydse 1/29.
Stap 3. Vermenigvuldig die teller van die komplekse breuk met die wederkerige van die noemer
Noudat ons die wederkerigheid van die noemer van die komplekse breuk het, vermenigvuldig dit met die teller om 'n enkele breuk te kry. Onthou, om twee breuke te vermenigvuldig, kruis ons net vermenigvuldiging - die teller van die nuwe breuk is die getal van die teller van die twee ou breuke, sowel as die noemer.
In ons voorbeeld vermenigvuldig ons 11/15 × 70/29. 70 × 11 = 770 en 15 × 29 = 435. Die nuwe eenvoudige breuk is dus 770/435.
Stap 4. Vereenvoudig die nuwe breuk deur die grootste gemene faktor te vind
Ons het reeds 'n enkele breuk, so al wat ons hoef te doen is om met die eenvoudigste getal vorendag te kom. Vind die grootste gemene faktor (GCF) van die teller en noemer en deel albei deur hierdie getal om dit te vereenvoudig.
Een van die algemene faktore van 770 en 435 is 5. Dus, as ons die teller en noemer van die breuk met 5 deel, kry ons 154/87. 154 en 87 het geen gemeenskaplike faktore nie, so dit is die finale antwoord!
Metode 2 van 2: Vereenvoudiging van komplekse breuke wat veranderlike getalle bevat
Stap 1. Gebruik indien moontlik die omgekeerde vermenigvuldigingsmetode hierbo
Om duidelik te wees, kan byna alle komplekse breuke vereenvoudig word deur die teller en noemer af te trek met 'n enkele breuk en die teller te vermenigvuldig met die wederkerige van die noemer. Komplekse breuke wat veranderlikes bevat, is ook ingesluit, alhoewel hoe meer kompleks die uitdrukking van veranderlikes in komplekse breuke is, hoe moeiliker en tydrowender sal dit wees om omgekeerde vermenigvuldiging te gebruik. Vir 'maklike' komplekse breuke wat veranderlikes bevat, is omgekeerde vermenigvuldiging 'n goeie keuse, maar ingewikkelde breuke met veelvoudige veranderlike getalle in die teller en noemer kan makliker wees op die alternatiewe manier wat hieronder beskryf word.
- Byvoorbeeld, (1/x)/(x/6) is maklik om te vereenvoudig deur inverse vermenigvuldiging. 1/x × 6/x = 6/x2. Dit is nie nodig om alternatiewe metodes hier te gebruik nie.
- (((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5)))) is egter moeiliker om te vereenvoudig deur inverse vermenigvuldiging. Dit kan 'n ingewikkelde proses wees om die teller en noemer van komplekse breuke tot enkel breuke te verminder, omgekeerd te vermenigvuldig en die resultaat tot die eenvoudigste getalle te verminder. In hierdie geval kan die onderstaande alternatiewe metode makliker wees.
Stap 2. As omgekeerde vermenigvuldiging nie prakties is nie, begin deur die LCM van die breukgetal in die komplekse breuk te vind
Die eerste stap is om die LCM van al die breukgetalle in 'n komplekse breuk te vind - beide in die teller en die noemer. Gewoonlik, as een of meer breukgetalle 'n nommer in die noemer het, is die LCM die getal in die noemer.
Dit is makliker om te verstaan met 'n voorbeeld. Kom ons probeer om die komplekse breuke hierbo genoem, (((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))) te vereenvoudig. Die breukgetalle in hierdie komplekse breuk is (1)/(x+3) en (1)/(x-5). Die LCM van die twee breuke is die getal in die noemer: (x+3) (x-5).
Stap 3. Vermenigvuldig die teller van die komplekse breuk met die nuutgevonde LCM
Vervolgens moet ons die getal in die komplekse breuk vermenigvuldig met die LCM van die breukgetal. Met ander woorde, ons vermenigvuldig alle komplekse breuke met (KPK)/(KPK). Ons kan dit onafhanklik doen omdat (KPK)/(KPK) gelyk is aan 1. Vermenigvuldig eers die tellers self.
-
In ons voorbeeld vermenigvuldig ons die komplekse breuk, (((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))), dit wil sê ((x+ 3) (x-5))/((x+ 3) (x-5)). Ons moet vermenigvuldig met die teller en noemer van die komplekse breuk, elke getal vermenigvuldig met (x + 3) (x-5).
-
Laat ons eers die tellers vermenigvuldig: (((1)/(x+3))+x - 10) × (x+3) (x -5)
- = (((x+3) (x-5)/(x+3))+x ((x+3) (x-5))-10 ((x+3) (x-5))
- = (x-5) + (x (x.)2 - 2x - 15)) - (10 (x2 - 2x - 15))
- = (x-5) + (x3 - 2x2 - 15x) - (10x2 - 20x - 150)
- = (x-5) + x3 - 12x2 + 5x + 150
- = x3 - 12x2 +6x +145
-
Stap 4. Vermenigvuldig die noemer van die komplekse breuk met die LCM soos met die teller
Gaan voort om die komplekse breuk te vermenigvuldig met die LCM wat gevind word deur na die noemer te gaan. Vermenigvuldig alles, vermenigvuldig elke getal met die LCM.
-
Die noemer van ons komplekse breuk, (((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))), is x +4 +((1) // (x-5)). Ons vermenigvuldig dit met die LCM gevind, (x+3) (x-5).
- (x +4 +((1)/(x - 5))) × (x +3) (x -5)
- = x ((x+3) (x-5))+4 ((x+3) (x-5))+(1/(x-5)) (x+3) (x-5).
- = x (x2 - 2x - 15) + 4 (x2 - 2x- 15) + ((x + 3) (x-5))/(x-5)
- = x3 - 2x2 - 15x + 4x2 - 8x - 60 + (x + 3)
- = x3 + 2x2 - 23x - 60 + (x + 3)
- = x3 + 2x2 - 22x - 57
Stap 5. Skep 'n nuwe en vereenvoudigde breuk uit die nuutgevonde teller en noemer
Nadat die breuk met (KPK)/(KPK) vermenigvuldig is en dit vereenvoudig is deur die getalle te kombineer, is die resultaat 'n eenvoudige breuk wat nie 'n breukgetal bevat nie. Let op dat deur die vermenigvuldiging met die LCM van die breukgetal in die oorspronklike komplekse breuk, die noemer van hierdie breuk uitgeput is en die veranderlike getal en heelgetal in die antwoord se teller en noemer sonder die breuke gelaat word.
Met die teller en noemer hierbo gevind, kan ons 'n breuk saamstel wat dieselfde is as die oorspronklike komplekse breuk, maar nie die breukgetal bevat nie. Die teller wat verkry is, is x3 - 12x2 + 6x + 145 en die noemer wat ons gekry het, was x3 + 2x2 - 22x - 57, dus word die nuwe breuk (x3 - 12x2 + 6x + 145)/(x3 + 2x2 - 22x - 57)
Wenke
- Wys elke stap van die werk. Breuke kan verwarrend wees as die stappe te vinnig tel of dit uit jou kop probeer doen.
- Vind voorbeelde van komplekse breuke op die internet of in boeke. Volg elke stap totdat dit bemeester kan word.
