Die determinant van matrikse word dikwels op 'n hoër vlak in berekening, lineêre algebra en meetkunde gebruik. Buite die akademie gebruik rekenaargrafiese ingenieurs en programmeerders die hele tyd matrikse en hul determinante. As u reeds weet hoe om die determinant van 'n matriks in die orde van 2x2 te bepaal, moet u net leer wanneer u optelling, aftrekking en tye moet gebruik om die determinant van 'n matriks van orde 3x3 te bepaal.
Stap
Deel 1 van 2: Bepaling van die bepalers
Skryf u 3 x 3 -orde matriks neer. Ons begin met 'n matriks A van orde 3x3 en probeer om die determinant | A |. Hieronder is die algemene vorm van matriksnotasie wat ons sal gebruik en 'n voorbeeld van ons matriks:
| a11 | a12 | a13 | 1 | 5 | 3 | |||
| M. | = | a21 | a22 | a23 | = | 2 | 4 | 7 |
| a31 | a32 | a33 | 4 | 6 | 2 |
Stap 1. Kies 'n ry of kolom
Maak u keuse die verwysingsry of kolom. Wat u ook al kies, u sal steeds dieselfde antwoord kry. Kies die eerste ry tydelik. Ons gee u in die volgende afdeling 'n paar voorstelle vir die keuse van die maklikste om te bereken.
Kies die eerste ry van die steekproefmatriks A. Omkring die getal 1 5 3. Omkring a11 a12 a13.
Stap 2. Trek die ry en kolom van u eerste element deur
Kyk na die ry of kolom wat u omring het en kies die eerste element. Trek die rye en kolomme deur. Daar sal slegs 4 nommers onaangeraak bly. Maak hierdie 4 getalle 'n 2 x 2 orde matriks.
- In ons voorbeeld is ons verwysingsry 1 5 3. Die eerste element is in die 1ste ry en 1ste kolom. Steek die hele 1ste ry en 1ste kolom deur. Skryf die oorblywende elemente in 'n 2 x 2 matriks neer:
- 1 5 3
- 2 4 7
- 4 6 2
Stap 3. Bepaal die determinant van die 2 x 2 orde matriks
Onthou, bepaal die determinant van die matriks [ac bd] deur advertensie - bc. U het moontlik ook geleer om die determinant van 'n matriks te bepaal deur 'n X tussen 'n 2 x 2. matriks te teken. Vermenigvuldig die twee getalle wat met die lyn / van X verbind is. Trek dan die aantal kere af wat die twee getalle verbind deur die lyn / is. Gebruik hierdie formule om die determinant van 'n 2 x 2 matriks te bereken.
- In die voorbeeld is die determinant van die matriks [46 72] = 4*2 - 7*6 = - 34.
- Hierdie determinant word genoem minderjarig van die elemente wat u in die aanvanklike matriks gekies het. In hierdie geval het ons pas die minderjarige van a11.
Stap 4. Vermenigvuldig die getal wat gevind word deur die element wat u gekies het
Onthou dat u elemente uit die verwysingsry (of kolom) gekies het toe u besluit het watter rye en kolomme u moet uitvee. Vermenigvuldig hierdie element met die determinant van die 2 x 2 matriks wat u gevind het.
In die voorbeeld kies ons a11 wat 1. Vermenigvuldig hierdie getal met -34 (die determinant van die 2 x 2 matriks) om 1*-34 = te kry - 34.
Stap 5. Bepaal die simbool van u antwoord
Die volgende stap is dat u u antwoord met 1 of -1 moet vermenigvuldig kofaktor van die element wat u gekies het. Die simbool wat u gebruik, hang af van waar die elemente in die 3 x 3. matriks is. Onthou, hierdie simbooltabel word gebruik om die vermenigvuldiger van u element te bepaal:
- + - +
- - + -
- + - +
- Omdat ons 'n kies11 wat met 'n +gemerk is, vermenigvuldig ons die getal met +1 (of met ander woorde, moet dit nie verander nie). Die antwoord wat verskyn, sal dieselfde wees, naamlik - 34.
- 'N Ander manier om 'n simbool te definieer, is deur die formule (-1) te gebruik i+j waar i en j ry- en kolomelemente is.
Stap 6. Herhaal hierdie proses vir die tweede element in u verwysingsry of kolom
Keer terug na die oorspronklike 3 x 3 -matriks waarin u die ry of kolom vroeër omsingel het. Herhaal dieselfde proses met die element:
-
Steek die ry en kolom van die element deur.
Kies in hierdie geval die element a12 (wat 5 werd is). Kruis die 1ste ry (1 5 3) en die 2de kolom (5 4 6).
-
Verander die oorblywende elemente in 'n 2x2 matriks.
In ons voorbeeld is die 2x2 -orde matriks vir die tweede element [24 72].
-
Bepaal die determinant van hierdie 2x2 matriks.
Gebruik die ad - bc formule. (2*2 - 7*4 = -24)
-
Vermenigvuldig met die elemente van u gekose 3x3 matriks.
-24 * 5 = -120
-
Besluit of u die bogenoemde resultaat met -1 moet vermenigvuldig of nie.
Gebruik 'n tabel met simbole of formules (-1)ij. Kies element a12 gesimboliseer - in die simbooltabel. Vervang ons antwoordsimbool met: (-1)*(-120) = 120.
Stap 7. Herhaal dieselfde proses vir die derde element
U het nog 'n kofaktor om die determinant te bepaal. Tel i vir die derde element in u verwysingsry of kolom. Hier is 'n vinnige manier om die kofaktor a te bereken13 in ons voorbeeld:
- Steek die eerste ry en derde kolom deur om [24 46].
- Die determinant is 2*6 - 4*4 = -4.
- Vermenigvuldig met element a13: -4 * 3 = -12.
- Element a13 simbool + in die simbooltabel, so die antwoord is - 12.
Stap 8. Tel die resultate van u drie tellings op
Dit is die laaste stap. U het drie kofaktore bereken, een vir elke element in 'n ry of kolom. Tel die resultate saam en u sal die determinant van 'n 3 x 3 matriks vind.
In die voorbeeld is die determinant van die matriks - 34 + 120 + - 12 = 74.
Deel 2 van 2: Maak probleemoplossing makliker
Stap 1. Kies die ry of kolom met verwysings wat die meeste 0's het
Onthou, u kan enige ry of kolom wat u wil kies. Wat u ook al kies, die antwoord sal dieselfde wees. As u 'n ry of kolom met die getal 0 kies, hoef u slegs die kofaktor te bereken met elemente wat nie 0 is nie, omdat:
- Kies byvoorbeeld die 2de ry met die element a21, a22, fonds23. Om hierdie probleem op te los, gebruik ons 3 verskillende 2 x 2 matrikse, kom ons sê A21, A.22, Jy23.
- Die determinant van die 3x3 matriks is a21| A.21| - a22| A.22| + a23| A.23|.
- As 'n22 fonds23 waarde 0, sal die bestaande formule a21| A.21| - 0*| A.22| + 0*| A.23| = a21| A.21| - 0 + 0 = a21| A.21|. Daarom sal ons slegs die kofaktor van slegs een element bereken.
Stap 2. Gebruik ekstra rye om matriksprobleme makliker te maak
As u die waardes van een ry neem en dit by 'n ander ry voeg, sal die determinant van die matriks nie verander nie. Dieselfde geld vir kolomme. U kan dit herhaaldelik doen of met 'n konstante vermenigvuldig voordat u dit byvoeg om soveel as moontlik 0's in die matriks te kry. Dit kan baie tyd bespaar.
- U het byvoorbeeld 'n matriks met 3 rye: [9 -1 2] [3 1 0] [7 5 -2]
- Om die getal 9 wat in posisie is, uit te skakel11, kan u die waarde in die 2de ry met -3 vermenigvuldig en die resultaat by die eerste ry voeg. Nou is die nuwe eerste reël [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].
- Die nuwe matriks het rye [0 -4 2] [3 1 0] [7 5 -2]. Gebruik dieselfde truuk op kolomme om 'n12 wees die nommer 0.
Stap 3. Gebruik die vinnige metode vir driehoekige matrikse
In hierdie spesiale geval is die determinant die produk van die elemente op die hoofdiagonaal, van a11 links bo na a33 regs onder in die matriks. Hierdie matriks is nog steeds 'n 3x3 matriks, maar die "driehoek" matriks het 'n spesiale patroon van getalle wat nie 0 is nie:
- Boonste driehoekige matriks: Alle elemente wat nie 0 is nie, is op of bo die hoofdiagonaal. Alle getalle onder die hoofdiagonaal is 0.
- Onderste driehoekige matriks: Alle elemente wat nie 0 is nie, is op of onder die hoofdiagonaal.
- Diagonale matriks: Alle elemente wat nie 0 is nie, is op die hoofdiagonaal (die deelversameling van die bogenoemde tipes matrikse).
Wenke
- As al die elemente in 'n ry of kolom 0 is, is die determinant van die matriks 0.
- Hierdie metode kan gebruik word vir alle groottes van kwadratiese matrikse. Byvoorbeeld, as u hierdie metode gebruik vir 'n matriks van orde 4x4, sal u 'strike' 'n matriks van orde 3x3 laat waarvan die determinant bepaal kan word deur die bogenoemde stappe te volg. Onthou, dit kan vervelig wees om dit te doen!
