As u eers die kubieke vergelyking (wat van die vorm byl is, vind 3 + bx 2 + cx + d = 0), miskien dink u dat die probleem moeilik sal wees om op te los. Maar weet dat die oplossing van kubieke vergelykings eintlik al eeue lank bestaan! Hierdie oplossing, wat deur die Italiaanse wiskundiges Niccolò Tartaglia en Gerolamo Cardano in die 1500's ontdek is, is een van die eerste formules wat bekend was in antieke Griekeland en Rome. Die oplossing van kubieke vergelykings is miskien 'n bietjie moeilik, maar met die regte benadering (en voldoende kennis) kan selfs die moeilikste kubieke vergelykings opgelos word.
Stap
Metode 1 van 3: Los op met behulp van kwadratiese vergelykings
Stap 1. Kyk of jou kubieke vergelyking 'n konstante het
Soos hierbo genoem, is die vorm van die kubieke vergelyking byl 3 + bx 2 + cx + d = 0. b, c, en die waarde van d kan 0 wees sonder om die vorm van hierdie kubieke vergelyking te beïnvloed; dit beteken basies dat die kubieke vergelyking nie altyd die waarde van bx hoef in te sluit nie 2, cx, of d om 'n kubieke vergelyking te wees. Om hierdie redelik eenvoudige manier om kubieke vergelykings op te los, te gebruik, kyk of u kubieke vergelyking 'n konstante (of 'n waarde van d) het. As u vergelyking nie 'n konstante of waarde vir d het nie, kan u 'n kwadratiese vergelyking gebruik om die antwoord op die kubieke vergelyking na 'n paar stappe te vind.
Aan die ander kant, as u vergelyking 'n konstante waarde het, benodig u 'n ander oplossing. Sien die onderstaande stappe vir ander benaderings
Stap 2. Faktor die x -waarde uit die kubieke vergelyking
Aangesien u vergelyking geen konstante waarde het nie, het alle komponente daarin die veranderlike x. Dit beteken dat hierdie waarde van x uit die vergelyking gereken kan word om dit te vereenvoudig. Doen hierdie stap en skryf u kubieke vergelyking oor in die vorm x (ax 2 + bx + c).
Kom ons sê byvoorbeeld dat die oorspronklike kubieke vergelyking hier 3 x is 3 + -2 x 2 + 14 x = 0. Deur een veranderlike x uit hierdie vergelyking te bereken, kry ons die vergelyking x (3 x 2 + -2 x + 14) = 0.
Stap 3. Gebruik kwadratiese vergelykings om die vergelykings tussen hakies op te los
U sal dalk sien dat sommige van u nuwe vergelykings, wat tussen hakies omhul is, in die vorm van 'n kwadratiese vergelyking (byl 2 + bx + c). Dit beteken dat ons die waarde kan vind wat nodig is om hierdie vergelyking gelyk aan nul te maak deur a, b en c in die kwadratiese vergelyking formule ({- b +/- √ (b 2- 4 ac)}/2 a). Voer hierdie berekeninge uit om twee antwoorde op u kubieke vergelyking te vind.
-
In ons voorbeeld, koppel die waardes van a, b en c (onderskeidelik 3, -2 en 14) in die kwadratiese vergelyking soos volg:
-
- {- b +/- √ (b 2- 4 ac)}/2 a
- {-(-2) +/-√ ((-2)2- 4(3)(14))}/2(3)
- {2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6
- {2 +/-√ (4 - (168)}/6
- {2 +/-√ (-164)}/6
-
-
Antwoord 1:
-
- {2 + √(-164)}/6
- {2 + 12,8 i}/6
-
-
Antwoord 2:
-
- {2 - 12,8 i}/6
-
Stap 4. Gebruik nulle en u antwoord op u kwadratiese vergelyking as u antwoord op u kubieke vergelyking
Kwadratiese vergelykings sal twee antwoorde hê, terwyl kubieke vergelykings drie antwoorde het. U ken reeds twee antwoorde uit drie; wat u kry tussen die "vierkantige" deel van die vergelyking tussen hakies. As u kubieke vergelyking deur 'faktorisering' soos hierdie opgelos kan word, is u derde antwoord byna altyd 0. Veilig! Jy het pas 'n kubieke vergelyking opgelos.
Die rede waarom hierdie metode werk, is die fundamentele feit dat "enige getal vermenigvuldig met nul gelyk is aan nul". As u u vergelyking in die vorm x (ax 2 + bx + c) = 0, jy verdeel dit basies net in twee "dele"; een deel is die x veranderlike aan die linkerkant en die ander deel is die kwadratiese vergelyking tussen hakies. As een van hierdie twee dele nul is, dan is die hele vergelyking ook nul. Die twee antwoorde op die kwadratiese vergelyking tussen hakies, wat dit nul sou maak, is dus die antwoorde op die kubieke vergelyking, sowel as 0 self - wat die deel aan die linkerkant ook nul sou maak.
Metode 2 van 3: vind heelgetal -antwoorde met behulp van 'n faktorelys
Stap 1. Maak seker dat u kubieke vergelyking 'n konstante waarde het
Alhoewel die bogenoemde metodes redelik maklik is om te gebruik omdat u nie 'n nuwe berekeningstegniek hoef te leer nie, sal dit u nie altyd help om kubieke vergelykings op te los nie. As u kubieke vergelyking van die vorm byl is 3 + bx 2 + cx + d = 0, waar die waarde van d nie gelyk is aan nul nie, werk die 'faktoriserings' -metode hierbo nie, dus moet u een van die metodes in hierdie afdeling gebruik om dit op te los.
Gestel ons het byvoorbeeld die vergelyking 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x = -6. In hierdie geval, om nul aan die regterkant van die vergelyking te kry, moet ons 6 aan beide kante byvoeg. Daarna kry ons 'n nuwe vergelyking 2x 3 + 9 x 2 + 13 x + 6 = 0, met 'n waarde van d = 6, sodat ons nie die 'faktoriserings' -metode kan gebruik soos in die vorige metode nie.
Stap 2. Vind die faktore van a en d
Om u kubieke vergelyking op te los, begin deur die faktor van a (die koëffisiënt van x 3) en d (die konstante waarde aan die einde van die vergelyking). Onthou, faktore is getalle wat met mekaar vermenigvuldig kan word om 'n sekere getal te produseer. Aangesien u byvoorbeeld 6 kan kry deur 6 × 1 en 2 × 3 te vermenigvuldig, is 1, 2, 3 en 6 faktore van 6.
-
In die voorbeeldprobleem wat ons gebruik, a = 2 en d = 6. Die faktor 2 is 1 en 2. Terwyl die faktor 6 is 1, 2, 3 en 6.
Los 'n kubieke vergelyking op Stap 7 Stap 3. Verdeel die faktor a met die faktor van d
Maak vervolgens 'n lys van die waardes wat u kry deur elke faktor van a deur elke faktor van d te deel. Hierdie berekening lei gewoonlik tot baie breuke en verskeie heelgetalle. Die heelgetalwaarde om u kubieke vergelyking op te los, is een van die heelgetalle wat uit die berekening verkry word.
In ons vergelyking, verdeel die faktorwaarde van a (1, 2) deur die faktor d (1, 2, 3, 6) en kry die volgende resultate: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2, en 2/3. Voeg dan negatiewe waardes by die lys, en ons kry: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3 en -2/3. Die antwoord op die kubieke vergelyking - wat 'n heelgetal is, is op die lys.
Los 'n kubieke vergelyking op Stap 8 Stap 4. Gebruik sintetiese verdeling om u antwoorde handmatig na te gaan
Sodra u 'n lys waardes soos hierbo het, kan u die heelgetalwaardes, wat die antwoorde op u kubieke vergelyking is, opspoor deur elke heelgetal handmatig in te voer en te vind watter waarde nul gee. As u egter nie tyd daaraan wil spandeer nie, is daar 'n manier om dit vinniger te doen, naamlik met 'n berekening genaamd sintetiese afdeling. Basies sou u u heelgetalwaarde deel deur die oorspronklike koëffisiënte van a, b, c en d in u kubieke vergelyking. As die res nul is, dan is die waarde een van die antwoorde op u kubieke vergelyking.
-
Sintetiese verdeling is 'n komplekse onderwerp - sien die onderstaande skakel vir meer inligting. Hier is 'n voorbeeld van hoe u een van die antwoorde op u kubieke vergelyking met sintetiese verdeling kan vind:
-
- -1 | 2 9 13 6
- _| -2-7-6
- _| 2 7 6 0
- Aangesien ons die eindresultaat gelyk aan 0 kry, weet ons dat een van die heelgetal -antwoorde op ons kubieke vergelyking is - 1.
-
Metode 3 van 3: Gebruik die diskriminerende benadering
Los 'n kubieke vergelyking op Stap 9 Stap 1. Skryf die vergelykings a, b, c en d neer
Om die antwoord op die kubieke vergelyking op hierdie manier te vind, sal ons baie berekeninge doen met die koëffisiënte in ons vergelyking. Daarom is dit 'n goeie idee om die waardes van a, b, c en d op te teken voordat u een van die waardes vergeet.
Byvoorbeeld, vir die vergelyking x 3 - 3 x 2 + 3 x -1, skryf dit neer as a = 1, b = -3, c = 3 en d = -1. Moenie vergeet dat wanneer die veranderlike x geen koëffisiënt het nie, die waarde daarvan 1 is.
Los 'n kubieke vergelyking op Stap 10 Stap 2. Bereken 0 = b 2 - 3 lugversorgers.
Die diskriminerende benadering om antwoorde op kubieke vergelykings te vind, verg ingewikkelde berekeninge, maar as u die stappe noukeurig volg, kan dit baie nuttig wees om kubieke vergelykings op te los wat moeilik is om op ander maniere op te los. Om mee te begin, vind u die waarde van 0, wat die eerste belangrike waarde is van die verskeie wat ons benodig, en die toepaslike waarde in die formule b koppel 2 - 3 lugversorgers.
-
In die voorbeeld wat ons gebruik, los ons dit soos volg op:
-
- b 2 - 3 ac
- (-3)2 - 3(1)(3)
- 9 - 3(1)(3)
- 9 - 9 = 0 = 0
-
Los 'n kubieke vergelyking op Stap 11 Stap 3. Bereken 1 = 2 b 3 - 9 abc + 27 a 2 d.
Die volgende belangrike waarde wat ons nodig het, 1, verg 'n langer berekening, maar kan op dieselfde manier as 0 gevind word. Koppel die toepaslike waarde in die formule 2 b 3 - 9 abc + 27 a 2 d om die waarde van 1 te kry.
-
In hierdie voorbeeld los ons dit soos volg op:
-
- 2(-3)3 - 9(1)(-3)(3) + 27(1)2(-1)
- 2(-27) - 9(-9) + 27(-1)
- -54 + 81 - 27
- 81 - 81 = 0 = 1
-
Los 'n kubieke vergelyking op Stap 12 Stap 4. Bereken = 12 - 4Δ03) -27 a 2.
Vervolgens bereken ons die 'diskriminerende' waarde van die waardes 0 en 1. Die diskriminant is 'n getal wat u inligting gee oor die wortel van die polinoom (u het moontlik die kwadratiese diskriminerende formule onbewustelik gememoriseer: b 2 - 4 lugversorgers). In die geval van 'n kubieke vergelyking, as die waarde van die diskriminant positief is, het die vergelyking drie reële getalantwoorde. As die diskriminantwaarde gelyk is aan nul, dan het die vergelyking een of twee reële getalantwoorde, en sommige van die antwoorde het dieselfde waarde. As die waarde negatief is, het die vergelyking slegs een reële getalantwoord, want die grafiek van die vergelyking sal altyd die x-as minstens een keer sny.)
-
In hierdie voorbeeld, aangesien beide 0 en 1 = 0 baie maklik is om die waarde van te vind. Ons hoef dit net op die volgende manier te bereken:
-
- 12 - 4Δ03) -27 a 2
- (0)2 - 4(0)3) ÷ -27(1)2
- 0 - 0 ÷ 27
- 0 =, dus het ons vergelyking 1 of 2 antwoorde.
-
Los 'n kubieke vergelyking op Stap 13 Stap 5. Bereken C = 3(√ ((Δ12 - 4Δ03) + 1)/ 2).
Die laaste waarde wat vir ons belangrik is, is die waarde van C. Hierdie waarde stel ons in staat om al drie die wortels van ons kubieke vergelyking te kry. Los soos gewoonlik op en steek die waardes van 1 en 0 in die formule.
-
In hierdie voorbeeld kry ons die waarde van C deur:
-
- 3(√ ((Δ12 - 4Δ03) + 1)/ 2)
- 3√(√((02 - 4(0)3) + (0))/ 2)
- 3√(√((0 - 0) + (0))/ 2)
- 0 = C
-
Los 'n kubieke vergelyking op Stap 14 Stap 6. Bereken die drie wortels van die vergelyking met jou veranderlike
Die wortel (antwoord) van u kubieke vergelyking word bepaal deur die formule (b + u C + (Δ0/u C)) / 3 a, waar u = (-1 + (-3))/2 en n gelyk is aan 1, 2 of 3. Koppel u waardes in die formule om dit op te los-daar is heelwat berekeninge wat u moet doen, maar u behoort al drie u antwoorde op die kubieke vergelyking te kry!
-
In hierdie voorbeeld kan ons dit oplos deur die antwoorde na te gaan wanneer n gelyk is aan 1, 2 en 3. Die antwoord wat ons uit hierdie berekening kry, is die moontlike antwoord op ons kubieke vergelyking - enige waarde wat ons by die kubieke vergelyking aansluit en dit gee die dieselfde resultaat. met 0, is die korrekte antwoord. As ons byvoorbeeld 'n antwoord gelyk aan 1 kry as ons in een van ons berekeningseksperimente die waarde 1 in die vergelyking x koppel 3 - 3 x 2 + 3 x - 1 lewer die eindresultaat gelyk aan 0. Dus
Stap 1. is een van die antwoorde op ons kubieke vergelyking.
-
