'N Kwadratiese vergelyking is 'n vergelyking waarvan die hoogste graad 2 (kwadraat) is. Daar is drie hoof maniere om 'n kwadratiese vergelyking op te los: die berekening van die kwadratiese vergelyking as jy kan, met behulp van 'n kwadratiese formule, of die voltooiing van die vierkant. Volg hierdie stappe as u hierdie drie metodes wil bemeester.
Stap
Metode 1 van 3: Factoringvergelykings
Stap 1. Kombineer al die gelyke veranderlikes en skuif dit na die een kant van die vergelyking
Die eerste stap om 'n vergelyking te bereken, is om al die gelyke veranderlikes na die een kant van die vergelyking te skuif, met x2is positief. Om veranderlikes te kombineer, voeg alle veranderlikes by of aftrek x2, x en konstantes (heelgetalle), skuif dit na die ander kant van die vergelyking sodat niks aan die ander kant oorbly nie. As die ander kant geen oorblywende veranderlikes het nie, skryf 'n 0 langs die gelykteken. Hier is hoe u dit moet doen:
- 2x2 - 8x - 4 = 3x - x2
- 2x2 +x2 - 8x -3x - 4 = 0
- 3x2 - 11x - 4 = 0
Stap 2. Faktoriseer hierdie vergelyking
Om hierdie vergelyking te faktoriseer, moet jy die faktor x gebruik2 (3) en die konstante faktor (-4), vermenigvuldig dit en voeg dit by om by die veranderlike in die middel te pas, (-11). Hier is hoe u dit moet doen:
- 3x2 het slegs een moontlike faktor, dit is 3x en x, u kan dit tussen hakies skryf: (3x +/-?) (x +/-?) = 0.
- Gebruik dan die eliminasieproses om faktor 4 in te werk om die produk te vind wat -11x oplewer. U kan die produk van 4 en 1, of 2 en 2 gebruik, want as u albei vermenigvuldig, kry u 4. Maar onthou dat een van die getalle negatief moet wees omdat die resultaat -4 is.
- Probeer (3x + 1) (x - 4). As u dit vermenigvuldig, is die resultaat - 3x2 -12x +x -4. As u die veranderlikes -12 x en x kombineer, is die resultaat -11x, wat u middelwaarde is. U het pas 'n kwadratiese vergelyking bereken.
- Kom ons probeer byvoorbeeld om die ander produk in ag te neem: (3x -2) (x +2) = 3x2 +6x -2x -4. As u die veranderlikes kombineer, is die resultaat 3x2 -4x -4. Alhoewel die faktore van -2 en 2 by vermenigvuldiging -4 lewer, is die gemiddelde nie dieselfde nie, want u wil 'n waarde van -11x in plaas van -4x kry.
Stap 3. Aanvaar dat elke hakie nul is in 'n ander vergelyking
Hiermee kan u 2 x waardes vind wat u vergelyking nul sal maak. U het u vergelyking in berekening gebring, dus al wat u hoef te doen is om aan te neem dat die berekening tussen elke hakie gelyk is aan nul. U kan dus 3x + 1 = 0 en x - 4 = 0 skryf.
Stap 4. Los elke vergelyking afsonderlik op
In 'n kwadratiese vergelyking is daar 2 waardes vir x. Los elke vergelyking afsonderlik op deur die veranderlikes te skuif en 2 antwoorde vir x neer te skryf:
-
Los 3x + 1 = 0 op
- 3x = -1….. deur af te trek
- 3x/3 = -1/3….. deur te deel
- x = -1/3….. deur te vereenvoudig
-
Los x - 4 = 0 op
x = 4….. deur af te trek
- x = (-1/3, 4) ….. deur verskeie moontlike antwoorde apart te maak, wat beteken dat x = -1/3 of x = 4 beide korrek kan wees.
Stap 5. Kontroleer x = -1/3 in (3x + 1) (x -4) = 0:
So kry ons (3 [-1/3] + 1) ([-1/3]-4)? =? 0….. deur (-1 + 1) (-4 1/3) te vervang? =? 0….. deur te vereenvoudig (0) (-4 1/3) = 0….. deur te vermenigvuldig Dus, 0 = 0….. Ja, x = -1/3 is waar.
Stap 6. Kontroleer x = 4 in (3x + 1) (x - 4) = 0:
So kry ons (3 [4] + 1) ([4] - 4)? =? 0….. deur (13) (4 - 4) te vervang? =? 0….. deur te vereenvoudig (13) (0) = 0….. deur te vermenigvuldig Dus, 0 = 0….. Ja, x = 4 is ook waar.
Na afsonderlike kontrole is beide antwoorde korrek en kan dit in vergelykings gebruik word
Metode 2 van 3: Gebruik die kwadratiese formule
Stap 1. Kombineer al die gelyke veranderlikes en skuif dit na die een kant van die vergelyking
Beweeg al die veranderlikes na die een kant van die vergelyking, met die waarde van die veranderlike x2 positief. Skryf die veranderlikes met opeenvolgende eksponente neer, sodat x2 eers geskryf, gevolg deur veranderlikes en konstantes. Hier is hoe u dit moet doen:
- 4x2 - 5x - 13 = x2 -5
- 4x2 - x2 - 5x - 13 +5 = 0
- 3x2 - 5x - 8 = 0
Stap 2. Skryf die kwadratiese formule neer
Die kwadratiese formule is: b ± b2−4ac2a { displaystyle { frac {-b / pm { sqrt {b^{2} -4ac}}} {2a}}}
Stap 3. Bepaal die waardes van a, b en c uit die kwadratiese vergelyking
Veranderlike a is die koëffisiënt x2, b is die koëffisiënt van die veranderlike x, en c is 'n konstante. Vir die 3x. Vergelyking2 -5x -8 = 0, a = 3, b = -5 en c = -8. Skryf al drie neer.
Stap 4. Vervang die waardes van a, b en c in die vergelyking
Sodra u die drie veranderlike waardes ken, koppel dit aan 'n vergelyking soos volg:
- {-b +/- √ (b2 - 4ac)}/2
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - 4(3)(-8))}/2(3) =
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3)
Stap 5. Doen berekeninge
Sodra u die getalle ingevoer het, moet u wiskunde doen om die positiewe of negatiewe teken te vereenvoudig, die oorblywende veranderlikes te vermenigvuldig of te vierkantig. Hier is hoe u dit moet doen:
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3) =
- {5 +/-√(25 + 96)}/6
- {5 +/-√(121)}/6
Stap 6. Vereenvoudig die vierkantswortel
As die getal onder die vierkantswortel 'n perfekte vierkant is, kry jy 'n heelgetal. As die getal nie 'n perfekte vierkant is nie, vereenvoudig dit tot die eenvoudigste wortelvorm. As die getal negatief is en u meen dit moet negatief wees, is die wortelwaarde ingewikkeld. In hierdie voorbeeld, (121) = 11. U kan x = (5 +/- 11)/6 skryf.
Stap 7. Soek die positiewe en negatiewe antwoorde
Nadat u die vierkantswortelteken verwyder het, kan u 'n positiewe en negatiewe resultaat vir x vind. Noudat u (5 +/- 11)/6 het, kan u 2 antwoorde skryf:
- (5 + 11)/6
- (5 - 11)/6
Stap 8. Voltooi die positiewe en negatiewe antwoorde
Voer wiskundige berekeninge uit:
- (5 + 11)/6 = 16/6
- (5-11)/6 = -6/6
Stap 9. Vereenvoudig
Om elke antwoord te vereenvoudig, deel deur die grootste getal wat beide getalle kan verdeel. Deel die eerste breuk met 2 en deel die tweede met 6, en jy het die waarde van x gevind.
- 16/6 = 8/3
- -6/6 = -1
- x = (-1, 8/3)
Metode 3 van 3: Voltooi die vierkant
Stap 1. Beweeg al die veranderlikes na die een kant van die vergelyking
Maak seker dat a of veranderlike x2 positief. Hier is hoe u dit moet doen:
- 2x2 - 9 = 12x =
-
2x2 - 12x - 9 = 0
In hierdie vergelyking is veranderlike a 2, veranderlike b is -12 en veranderlike c is -9
Stap 2. Skuif die veranderlike of konstante c na die ander kant
Konstante is numeriese terme sonder veranderlikes. Beweeg na die regterkant van die vergelyking:
- 2x2 - 12x - 9 = 0
- 2x2 - 12x = 9
Stap 3. Verdeel beide kante deur die koëffisiënt a of die veranderlike x2.
As x2 het nie 'n veranderlike nie en die koëffisiënt is 1, u kan hierdie stap oorslaan. In hierdie geval moet u al die veranderlikes deur 2 deel, soos volg:
- 2x2/2 - 12x/2 = 9/2 =
- x2 - 6x = 9/2
Stap 4. Verdeel b met 2, vierkant dit en voeg die resultaat aan beide kante by
Die waarde van b in hierdie voorbeeld is -6. Hier is hoe u dit moet doen:
- -6/2 = -3 =
- (-3)2 = 9 =
- x2 - 6x + 9 = 9/2 + 9
Stap 5. Vereenvoudig albei kante
Faktoreer die veranderlike aan die linkerkant om (x-3) (x-3) of (x-3) te kry2. Voeg die waardes regs by om 9/2 + 9 of 9/2 + 18/2 te kry, wat 27/2 is.
Stap 6. Vind die vierkantswortel aan beide kante
Vierkantswortel van (x-3)2 is (x-3). U kan die vierkantswortel van 27/2 as ± √ (27/2) skryf. Dus, x - 3 = ± √ (27/2).
Stap 7. Vereenvoudig die wortels en vind die waarde van x
Om ± √ (27/2) te vereenvoudig, vind die perfekte vierkant tussen die getalle 27 en 2 of faktor die getal. Die perfekte vierkant van 9 kan in 27 gevind word omdat 9 x 3 = 27. Om 9 uit die vierkantswortel te haal, neem 9 uit die wortel en skryf 3, die vierkantswortel, buite die vierkantswortel. Laat die res 3 in die teller van die breuk onder die vierkantswortel, aangesien 27 nie al die faktore uitwerk nie, en skryf 2 hieronder neer. Beweeg dan die konstante 3 aan die linkerkant van die vergelyking na regs en skryf u twee oplossings vir x:
- x = 3 +(√6)/2
- x = 3 - (√6)/2)
Wenke
- Soos u kan sien, sal die wortelmerke nie heeltemal verdwyn nie. Die tellerveranderlikes kan dus nie gekombineer word nie (omdat hulle nie gelyk is nie). Daar is geen sin om dit in positief of negatief te skei nie. Ons kan dit egter deur dieselfde faktor deel, maar ENIGSTE as die faktore dieselfde is vir beide konstantes EN wortelkoëffisiënt.
- As die getal onder die vierkantswortel nie 'n perfekte vierkant is nie, is die laaste paar stappe effens anders. Hier is 'n voorbeeld:
- As b 'n ewe getal is, word die formule: {-(b/2) +/- (b/2) -ac}/a.
