In 'n 'stelsel van vergelykings' word u gevra om twee of meer vergelykings gelyktydig op te los. As die twee vergelykings twee verskillende veranderlikes het, byvoorbeeld x en y, lyk die oplossing aanvanklik moeilik. Gelukkig, as u eers weet wat u moet doen, kan u eenvoudig u algebraïese vaardighede (en die wetenskap van die berekening van breuke) gebruik om die probleem op te los. Leer ook hoe om hierdie twee vergelykings te teken as u 'n visuele leerder is of deur die onderwyser vereis word. Tekeninge sal u help om die onderwerp te identifiseer of die resultate van u werk na te gaan. Hierdie metode is egter stadiger as die ander metodes, en kan nie vir alle vergelykingsisteme gebruik word nie.
Stap
Metode 1 van 3: Gebruik die vervangingsmetode
Stap 1. Beweeg die veranderlikes na die teenoorgestelde kant van die vergelyking
Die substitusiemetode begin deur 'die waarde van x' (of enige ander veranderlike) in een van die vergelykings te vind. Byvoorbeeld, sê die vergelyking van die probleem is 4x + 2y = 8 en 5x + 3y = 9. Begin deur aan die eerste vergelyking te werk. Rangskik die vergelyking deur 2y aan beide kante af te trek. So kry jy 4x = 8 - 2j.
Hierdie metode gebruik dikwels breuke aan die einde. As u nie daarvan hou om breuke te tel nie, probeer die onderstaande eliminasiemetode
Stap 2. Verdeel beide kante van die vergelyking om "die waarde van x te vind"
Sodra die term x (of watter veranderlike u ook al gebruik) alleen aan die een kant van die vergelyking is, deel beide kante van die vergelyking deur die koëffisiënte sodat slegs die veranderlike oorbly. As 'n voorbeeld:
- 4x = 8 - 2j
- (4x)/4 = (8/4) - (2y/4)
- x = 2 - y
Stap 3. Koppel die x -waarde van die eerste vergelyking in die tweede vergelyking
Maak seker dat u dit by die tweede vergelyking aansluit, in plaas van die een waarmee u pas gewerk het. Vervang (verander) die veranderlike x in die tweede vergelyking. Die tweede vergelyking het dus slegs een veranderlike. As 'n voorbeeld:
- Is bekend x = 2 - y.
- Jou tweede vergelyking is 5x + 3y = 9.
- Nadat ons die x -veranderlike in die tweede vergelyking met die x -waarde van die eerste vergelyking omgeruil het, kry ons "2 - y": 5 (2 - y) + 3y = 9.
Stap 4. Los die oorblywende veranderlikes op
Nou, u vergelyking het slegs een veranderlike. Bereken die vergelyking met gewone algebraïese bewerkings om die waarde van die veranderlike te vind. As die twee veranderlikes mekaar uitskakel, gaan direk na die laaste stap. Anders kry u 'n waarde vir een van die veranderlikes:
- 5 (2 - y) + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (As u hierdie stap nie verstaan nie, leer hoe om breuke by te voeg.)
- 10 + y = 9
- y = -1
- y = -2
Stap 5. Gebruik die verkry antwoord om die werklike waarde van x in die eerste vergelyking te vind
Moenie net stop nie, want u berekeninge is nog nie gedoen nie. U moet die verkrygde antwoord in die eerste vergelyking koppel om die waarde van die oorblywende veranderlikes te vind:
- Is bekend y = -2
- Een van die vergelykings in die eerste vergelyking is 4x + 2y = 8. (U kan een van hulle gebruik.)
- Vervang die y -veranderlike met -2: 4x + 2 (-2) = 8.
- 4x - 4 = 8
- 4x = 12
- x = 3
Stap 6. Weet wat om te doen as die twee veranderlikes mekaar uitskakel
As jy inkom x = 3y+2 of 'n soortgelyke antwoord op die tweede vergelyking, wat beteken dat u 'n vergelyking probeer kry wat slegs een veranderlike het. Soms kry jy net die vergelyking sonder veranderlike. Kontroleer u werk en maak seker dat u vergelyking een (in volgorde) in vergelyking twee (in volgorde) ingeplaas het, in plaas van terug te gaan na die eerste vergelyking. As u seker is dat u niks verkeerd gedoen het nie, skryf een van die volgende resultate:
- As die vergelyking geen veranderlikes het nie en nie waar is nie (byvoorbeeld 3 = 5), is hierdie probleem het geen antwoord nie. (As hierdie grafiek geteken is, is hierdie twee vergelykings ewewydig en ontmoet nooit.)
- As die vergelyking geen veranderlikes het nie en Reg, (bv. 3 = 3), wat beteken dat die vraag bestaan onbeperkte antwoorde. Vergelyking een is presies dieselfde as vergelyking twee. (In grafiek is hierdie twee vergelykings dieselfde lyn.)
Metode 2 van 3: Gebruik die eliminasiemetode
Stap 1. Vind die onderling uitsluitende veranderlikes
Soms is die vergelyking in die probleem reeds mekaar kanselleer wanneer dit bygevoeg word. Byvoorbeeld, as jy die vergelyking doen 3x + 2y = 11 en 5x - 2y = 13, die terme "+2y" en "-2y" sal mekaar uitskakel en die veranderlike "y" uit die vergelyking verwyder. Kyk na die vergelyking in die probleem en kyk of daar veranderlikes is wat mekaar uitskakel, soos in die voorbeeld. Indien nie, gaan dan verder met die volgende stap.
Stap 2. Vermenigvuldig die vergelyking met een sodat een veranderlike verwyder word
(Slaan hierdie stap oor as die veranderlikes mekaar reeds uitskakel.) As die vergelyking nie veranderlikes het wat op hul eie kanselleer nie, verander een van die vergelykings sodat hulle mekaar kan kanselleer. Kyk na die volgende voorbeelde sodat u dit maklik kan verstaan:
- Die vergelykings in die probleem is 3x - y = 3 en - x + 2y = 4.
- Kom ons verander die eerste vergelyking sodat die veranderlike y kanselleer mekaar. (U kan die veranderlike gebruik x. Die finale antwoord sal dieselfde wees.)
- Veranderlik - y in die eerste vergelyking moet uitgeskakel word deur + 2j in die tweede vergelyking. Hoe, vermenigvuldig - y met 2.
- Vermenigvuldig albei kante van die vergelyking met 2, soos volg: 2 (3x - y) = 2 (3), so 6x - 2y = 6. Nou, stam - 2 jaar sal mekaar uitskakel met +2j in die tweede vergelyking.
Stap 3. Kombineer die twee vergelykings
Die truuk is om die regterkant van die eerste vergelyking by die regterkant van die tweede vergelyking te voeg en die linkerkant van die eerste vergelyking by die linkerkant van die tweede vergelyking te voeg. As dit korrek gedoen word, sal een van die veranderlikes mekaar uitskakel. Kom ons probeer om die berekening uit die vorige voorbeeld voort te sit:
- Jou twee vergelykings is 6x - 2y = 6 en - x + 2y = 4.
- Tel die linkerkant van die twee vergelykings op: 6x - 2y - x + 2y =?
- Tel die regterkant van die twee vergelykings op: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
Stap 4. Kry die laaste veranderlike waarde
Vereenvoudig u saamgestelde vergelyking en werk met standaardalgebra om die waarde van die laaste veranderlike te kry. As die vergelyking na die vereenvoudiging geen veranderlikes het nie, gaan dan na die laaste stap in hierdie afdeling.
Anders kry u 'n waarde vir een van die veranderlikes. As 'n voorbeeld:
- Is bekend 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
- Groep veranderlikes x en y saam: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
- Vereenvoudig die vergelyking: 5x = 10
- Vind die x -waarde: (5x)/5 = 10/5, om te verkry x = 2.
Stap 5. Vind die waarde van 'n ander veranderlike
U het die waarde van die een veranderlike gevind, maar wat van die ander? Koppel u antwoord in een van die vergelykings om die waarde van die oorblywende veranderlike te vind. As 'n voorbeeld:
- Is bekend x = 2, en een van die vergelykings in die probleem is 3x - y = 3.
- Vervang die x -veranderlike met 2: 3 (2) - y = 3.
- Vind die waarde van y in die vergelyking: 6 - y = 3
- 6 - y + y = 3 + y, so 6 = 3 + j
- 3 = j
Stap 6. Weet wat om te doen wanneer die twee veranderlikes mekaar uitskakel
Soms lei die kombinasie van twee vergelykings tot 'n vergelyking wat nie sin maak nie, of wat u nie help om die probleem op te los nie. Hersien u werk, en as u seker is dat u niks verkeerds gedoen het nie, skryf een van die volgende twee antwoorde:
- As die gekombineerde vergelyking geen veranderlikes het nie en nie waar is nie (byvoorbeeld 2 = 7), is hierdie probleem het geen antwoord nie. Hierdie antwoord is van toepassing op beide vergelykings. (As hierdie grafiek geteken is, is hierdie twee vergelykings ewewydig en ontmoet nooit.)
- As die gekombineerde vergelyking geen veranderlikes het nie en Reg, (bv. 0 = 0), wat beteken dat die vraag het onbeperkte antwoorde. Hierdie twee vergelykings is identies aan mekaar. (In grafiek is hierdie twee vergelykings dieselfde lyn.)
Metode 3 van 3: Teken 'n grafiek van vergelykings
Stap 1. Voer hierdie metode slegs uit wanneer dit opdrag gegee word
Tensy u 'n rekenaar of 'n grafiese sakrekenaar gebruik, kan hierdie metode slegs antwoorde gee. Jou onderwyser of handboek kan jou vertel om hierdie metode te gebruik om gewoontes te gebruik om vergelykings as lyne te teken. Hierdie metode kan ook gebruik word om die antwoord op een van die bogenoemde metodes na te gaan.
Die belangrikste idee is dat u die twee vergelykings moet beskryf en hul snypunt moet vind. Die waarde van x en y op hierdie snypunt is die antwoord op die probleem
Stap 2. Vind die y-waardes van beide vergelykings
Moenie die twee vergelykings kombineer nie en verander elke vergelyking sodat die formaat "y = _x + _" is. As 'n voorbeeld:
- Jou eerste vergelyking is 2x + y = 5. Verander na y = -2x + 5.
- Jou eerste vergelyking is - 3x + 6y = 0. Verander na 6y = 3x + 0, en vereenvoudig om y = x + 0.
- As jou twee vergelykings presies dieselfde is, die hele lyn is die "kruising" van die twee vergelykings. Skryf onbeperkte antwoorde as antwoord.
Stap 3. Teken die koördinaat -asse
Trek 'n vertikale "y-as" lyn en 'n horisontale "x-as" lyn op die grafiekpapier. Begin vanaf die punt waar die twee asse mekaar sny (0, 0), skryf die getaletikette 1, 2, 3, 4, ensovoorts, opeenvolgend op die y-as, en wys na regs op die x-as. Skryf daarna die getaletikette -1, -2, ensovoorts, opeenvolgend op die y -as, en na links op die x -as.
- As u nie grafiekpapier het nie, gebruik 'n liniaal om seker te maak dat die afstand tussen elke getal presies dieselfde is.
- As u groot getalle of desimale getalle gebruik, beveel ons aan dat u die grafiek skaal (bv. 10, 20, 30 of 0, 1, 0, 2, 0, 3 in plaas van 1, 2, 3).
Stap 4. Teken die y-afsnypunt vir elke vergelyking
As die vergelyking in die vorm is y = _x + _, kan u 'n grafiek begin teken deur die punt te maak waar die vergelykinglyn met die y-as sny. Die waarde van y is altyd dieselfde as die laaste getal in die vergelyking.
-
Vervolg van die vorige voorbeeld, die eerste reël (y = -2x + 5) sny die y-as by
Stap 5.. tweede reël (y = x + 0) sny die y-as by 0. (Hierdie punte word as (0, 5) en (0, 0) op die grafiek geskryf.)
- Trek indien moontlik die eerste en tweede lyne met penne of potlode in verskillende kleure.
Stap 5. Gebruik die helling om die lyn voort te sit
In vergelyking formaat y = _x + _, die getal voor die x dui die “hellingvlak” van die lyn aan. Elke keer dat x met een verhoog word, sal die waarde van y toeneem met die aantal hellingsvlakke. Gebruik hierdie inligting om die punte vir elke reël op die grafiek te vind wanneer x = 1. (U kan ook x = 1 in elke vergelyking invoer en die waarde van y vind.)
- Vervolg die vorige voorbeeld, die reël y = -2x + 5 het 'n helling van - 2. By punt x = 1 beweeg die lyn af met 2 van die punt x = 0. Trek 'n lyn wat (0, 5) verbind met (1, 3).
- Lyn y = x + 0 het 'n helling van ½. By x = 1 beweeg die lyn ry vanaf die punt x = 0. Trek 'n lyn wat (0, 0) verbind met (1,).
- As twee lyne dieselfde helling het, sal die twee nooit kruis nie. Hierdie stelsel van vergelykings het dus geen antwoord nie. Skryf geen antwoord as antwoord.
Stap 6. Hou aan om die lyne te verbind totdat die twee lyne mekaar sny
Stop werk en kyk na u grafiek. Gaan na die volgende stap as die twee lyne mekaar gekruis het. Indien nie, neem 'n besluit op grond van die posisie van u twee reëls:
- As die twee lyne mekaar nader, verbind die kolletjies van u strepe.
- As die twee lyne van mekaar wegbeweeg, gaan terug en verbind die kolletjies in teenoorgestelde rigtings, begin by x = 1.
- As die twee lyne baie ver van mekaar is, probeer om oor te spring en die punte verder weg te verbind, byvoorbeeld x = 10.
Stap 7. Vind die antwoord by die snypunt
Nadat die twee reëls mekaar sny, is die waarde van x en y op daardie stadium die antwoord op u probleem. As u gelukkig is, is die antwoord 'n heelgetal. Byvoorbeeld, in ons voorbeeld sny die twee lyne by die punt (2, 1) so die antwoord is x = 2 en y = 1. In sommige vergelykingsisteme is die punt waar die lyn sny tussen twee heelgetalle, en as die grafiek nie baie akkuraat is nie, is dit moeilik om vas te stel waar die x- en y -waardes op die snypunt is. As dit toegelaat word, kan u 'x is tussen 1 en 2' as die antwoord skryf, of die vervangings- of eliminasiemetode gebruik om die antwoord te vind.
Wenke
- U kan u werk nagaan deur die antwoorde in die oorspronklike vergelyking te koppel. As die vergelyking waar is (bv. 3 = 3), beteken dit dat u antwoord korrek is.
- As u die eliminasiemetode gebruik, moet u die vergelyking soms met 'n negatiewe getal vermenigvuldig sodat die veranderlikes mekaar kan kanselleer.
