In wiskunde, factoring is 'n manier om getalle of uitdrukkings te vind wat by vermenigvuldiging 'n gegewe getal of vergelyking sal oplewer. Factoring is 'n nuttige vaardigheid om eenvoudige algebra -probleme op te los; die vermoë om goed te faktoriseer, word belangrik by die hantering van kwadratiese vergelykings en ander vorme van polinome. Factoring kan gebruik word om algebraïese uitdrukkings te vereenvoudig om hul oplossings makliker te maak. Factoring kan u selfs die moontlikheid gee om sekere moontlike antwoorde uit te skakel, baie vinniger as om dit met die hand op te los.
Stap
Metode 1 van 3: Faktoring van getalle en eenvoudige algebraïese uitdrukkings
Stap 1. Verstaan die definisie van factoring wanneer dit op enkelgetalle toegepas word
Factoring is 'n eenvoudige konsep, maar in die praktyk kan dit uitdagend wees as dit op komplekse vergelykings toegepas word. Daarom is dit die maklikste om die konsep van factoring te benader deur met eenvoudige getalle te begin en dan na eenvoudige vergelykings te gaan, voordat u uiteindelik na meer komplekse toepassings gaan. Faktore van 'n getal is getalle wat die getal by vermenigvuldiging produseer. Die faktore van 12 is byvoorbeeld 1, 12, 2, 6, 3 en 4, want 1 × 12, 2 × 6 en 3 × 4 is gelyk aan 12.
- 'N Ander manier om daaraan te dink, is dat die faktore van 'n getal getalle is wat eweredig in die getal kan verdeel.
-
Kan u al die faktore van die getal 60 vind? Ons gebruik die getal 60 vir verskillende doeleindes (minute in 'n uur, sekondes in 'n minuut, ens.), Want dit kan deur baie ander getalle gedeel word.
Die faktore van 60 is 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 en 60
Stap 2. Verstaan dat veranderlike uitdrukkings ook in berekening gebring kan word
Net soos getalle self ingereken kan word, kan veranderlikes met getalkoëffisiënte ook in berekening gebring word. Om dit te kan doen, vind net die faktore van die veranderlike koëffisiënte. Om te weet hoe om 'n veranderlike te faktoriseer, is baie handig om algebraïese vergelykings met die veranderlike te vereenvoudig.
-
Die veranderlike 12x kan byvoorbeeld as die produk van die faktore 12 en x geskryf word. Ons kan 12x as 3 (4x), 2 (6x), ens. Skryf, met behulp van watter faktore van 12 die beste vir ons doeleindes werk.
Ons kan selfs 12x verskeie kere faktoriseer. Met ander woorde, ons hoef nie by 3 (4x) of 2 (6x) te stop nie - ons kan 4x en 6x faktoriseer om 3 (2 (2x) en 2 (3 (2x) te lewer. Natuurlik, hierdie twee uitdrukkings) gelykstaande is
Stap 3. Pas die distributiewe eienskap van vermenigvuldiging toe op faktor -algebraïese vergelykings
Deur u kennis te gebruik van hoe om enkelgetalle en veranderlikes met koëffisiënte te faktoriseer, kan u eenvoudige algebraïese vergelykings vereenvoudig deur die faktore te vind wat getalle en veranderlikes in algebraïese vergelykings deel. Om die vergelyking te vereenvoudig, probeer ons gewoonlik die grootste gemeenskaplike faktor vind. Hierdie vereenvoudigingsproses is moontlik as gevolg van die distributiewe eienskap van vermenigvuldiging, wat van toepassing is op enige getal a, b en c. a (b + c) = ab + ac.
- Kom ons probeer 'n voorbeeldvraag. Om die algebraïese vergelyking 12x + 6 te faktoriseer, laat ons eers probeer om die grootste gemene faktor van 12x en 6. te vind. 6 is die grootste getal wat 12x en 6 eweredig kan verdeel, sodat ons die vergelyking kan vereenvoudig tot 6 (2x + 1).
- Hierdie proses is ook van toepassing op vergelykings met negatiewe getalle en breuke. Byvoorbeeld, x/2 + 4, kan vereenvoudig word tot 1/2 (x + 8), en -7x + -21 kan in berekening gebring word tot -7 (x + 3).
Metode 2 van 3: Faktorisering van kwadratiese vergelykings
Stap 1. Maak seker dat die vergelyking in kwadratiese vorm is (byl2 + bx + c = 0).
Kwadratiese vergelykings het die vorm byl2 + bx + c = 0, waar a, b en c getallekonstante is en nie gelyk is aan 0 nie (let op dat a 1 of -1 kan wees). As u 'n vergelyking het met een veranderlike (x) met een term x tot twee of meer se magte, skuif u gewoonlik hierdie terme in die vergelyking met behulp van eenvoudige algebraïese bewerkings om 0 aan weerskante van die gelyke teken en byl te kry2, ens. aan die ander kant.
- Kom ons dink byvoorbeeld aan 'n algebraïese vergelyking. 5x2 + 7x - 9 = 4x2 + x - 18 kan vereenvoudig word tot x2 + 6x + 9 = 0, wat die vierkantige vorm is.
- Vergelykings met die groter krag van x, soos x3, x4, ens. is nie kwadratiese vergelykings nie. Hierdie vergelykings is kubieke vergelykings, tot die vierde krag, ensovoorts, tensy die vergelyking vereenvoudig kan word om hierdie x terme met magte groter as 2 te verwyder.
Stap 2. In 'n kwadratiese vergelyking, waar a = 1, faktor in (x+d) (x+e), waar d × e = c en d+e = b
As u kwadratiese vergelyking in die vorm x is2 + bx + c = 0 (met ander woorde, as die koëffisiënt van die term x2 = 1), is dit moontlik (maar nie gewaarborg nie) dat 'n redelik maklike snelskrifmetode gebruik kan word om die vergelyking te bereken. Soek twee getalle wat c vermenigvuldig en bygevoeg om te produseer b. Nadat u na hierdie twee getalle d en e gesoek het, plaas dit in die volgende uitdrukking: (x+d) (x+e). Hierdie twee terme, as dit vermenigvuldig word, gee u u kwadratiese vergelyking - met ander woorde, dit is die faktore van u kwadratiese vergelyking.
- Kom ons dink byvoorbeeld aan die kwadratiese vergelyking x2 + 5x + 6 = 0. 3 en 2 word vermenigvuldig om 6 te gee en ook bygevoeg om 5 te gee, sodat ons hierdie vergelyking kan vereenvoudig tot (x + 3) (x + 2).
-
Die geringe verskil in hierdie basiese snelskrifmetode lê in die verskille in die ooreenkomste self:
- As die kwadratiese vergelyking in die vorm x is2-bx+c, u antwoord is in hierdie vorm: (x - _) (x - _).
- As die vergelyking in die vorm x is2+ bx + c, u antwoord lyk so: (x + _) (x + _).
- As die vergelyking in die vorm x is2-bx -c, u antwoord is in die vorm (x + _) (x -_).
- Let wel: die getalle in die spasies kan breuke of desimale wees. Byvoorbeeld, die vergelyking x2 + (21/2) x + 5 = 0 word in (x + 10) (x + 1/2) verreken.
Stap 3. Faktoreer indien moontlik deur tjeks
Glo dit of nie, vir ongekompliseerde kwadratiese vergelykings is een van die toegelate faktoriseringsmetodes om die probleem te ondersoek, en kyk dan na die moontlike antwoorde totdat u die regte antwoord kry. Hierdie metode staan ook bekend as factoring deur middel van ondersoek. As die vergelyking in die vorm byl is2+bx +c en a> 1, u faktorantwoord is in die vorm (dx +/- _) (ex +/- _), waar d en e konstante is van nul nommers wat by vermenigvuldiging a gee. Nie d of e (of albei) kan 1 wees nie, alhoewel dit nie hoef te wees nie. As albei 1 is, gebruik u basies die kortskrifmetode wat hierbo beskryf is.
Kom ons dink aan 'n voorbeeldprobleem. 3x2 - 8x + 4 lyk aanvanklik moeilik. As ons egter besef dat 3 slegs twee faktore het (3 en 1), word hierdie vergelyking makliker omdat ons weet dat ons antwoord die vorm moet hê (3x +/- _) (x +/- _). In hierdie geval gee die toevoeging van -2 tot beide spasies die korrekte antwoord. -2 × 3x = -6x en -2 × x = -2x. -6x en -2x optel tot -8x. -2 × -2 = 4, sodat ons kan sien dat die terme wat tussen hakies in berekening gebring word, die oorspronklike vergelyking lewer.
Stap 4. Los op deur die vierkant te voltooi
In sommige gevalle kan kwadratiese vergelykings vinnig en maklik in berekening gebring word met behulp van spesiale algebraïese identiteite. Enige kwadratiese vergelyking in die vorm x2 + 2xh + h2 = (x + h)2. As u b -waarde dus twee keer die vierkantswortel van u c -waarde in u vergelyking is, kan u vergelyking in berekening gebring word tot (x + (wortel (c)))2.
Byvoorbeeld, die vergelyking x2 +6x+9 het hierdie vorm. 32 is 9 en 3 × 2 is 6. Dus, ons weet dat die faktorvorm van hierdie vergelyking (x + 3) (x + 3), of (x + 3) is2.
Stap 5. Gebruik faktore om kwadratiese vergelykings op te los
Ongeag hoe u u kwadratiese vergelyking ingereken het, kan u, as die vergelyking bereken is, moontlike antwoorde op die waarde van x vind deur elke faktor gelyk aan nul te maak en dit op te los. Aangesien u die waarde van x soek wat u vergelyking gelyk aan nul maak, is die waarde van x wat enige faktor gelyk aan nul maak, 'n moontlike antwoord op u kwadratiese vergelyking.
Kom ons gaan terug na vergelyking x2 + 5x + 6 = 0. Hierdie vergelyking word ingereken in (x + 3) (x + 2) = 0. As enige faktor gelyk is aan 0, is alle vergelykings gelyk aan 0, dus is ons moontlike antwoorde vir x getalle- 'n getal wat (x + 3) en (x + 2) gelyk 0. Hierdie getalle is onderskeidelik -3 en -2.
Stap 6. Gaan u antwoorde na - sommige van die antwoorde kan misleidend wees
As u moontlike antwoorde vir x vind, koppel dit dan weer aan by u oorspronklike vergelyking om te sien of die antwoord korrek is. Soms maak die antwoorde wat u vind, die oorspronklike vergelyking nie gelyk aan nul as dit weer ingevoer word nie. Ons noem hierdie antwoord afwykend en ignoreer dit.
-
Kom ons sit -2 en -3 in x2 + 5x + 6 = 0. Eerstens, -2:
- (-2)2 + 5(-2) + 6 = 0
- 4 + -10 + 6 = 0
- 0 = 0. Hierdie antwoord is korrek, dus -2 is die korrekte antwoord.
-
Kom ons probeer -3:
- (-3)2 + 5(-3) + 6 = 0
- 9 + -15 + 6 = 0
- 0 = 0. Hierdie antwoord is ook korrek, dus -3 is die korrekte antwoord.
Metode 3 van 3: Faktorisering van ander vergelykings
Stap 1. As die vergelyking uitgedruk word in die vorm a2-b2, faktor in (a+b) (a-b).
Vergelykings met twee veranderlikes het verskillende faktore as die basiese kwadratiese vergelyking. Vir vergelyking a2-b2 enigiets waar a en b nie gelyk is aan 0 nie, is die faktore van die vergelyking (a+b) (a-b).
Byvoorbeeld, die vergelyking 9x2 - 4 jaar2 = (3x + 2y) (3x - 2y).
Stap 2. As die vergelyking uitgedruk word in die vorm a2+2ab+b2, faktor in (a+b)2.
Let daarop dat as die trinoom die vorm a het2-2ab+b2, die vormfaktore is effens anders: (a-b)2.
4x. Vergelyking2 + 8xy + 4y2 kan herskryf word as 4x2 + (2 × 2 × 2) xy + 4y2. Nou kan ons sien dat die vorm korrek is, sodat ons seker kan wees dat die faktore van ons vergelyking (2x + 2y) is2
Stap 3. As die vergelyking uitgedruk word in die vorm a3-b3, faktor in (a-b) (a2+ab+b2).
Uiteindelik is reeds genoem dat kubieke vergelykings en selfs hoër magte in berekening gebring kan word, hoewel die faktoriseringsproses vinnig baie ingewikkeld raak.
Byvoorbeeld, 8x3 - 27 jaar3 verreken in (2x - 3y) (4x2 + ((2x) (3y)) + 9y2)
Wenke
- a2-b2 in berekening gebring kan word, a2+b2 kan nie in berekening gebring word nie.
- Onthou hoe om 'n konstante te faktoriseer. Dit kan help.
- Wees versigtig met breuke in die faktoriseringsproses en werk korrek en versigtig met breuke.
- As u 'n trinoom van die vorm x het2+ bx+ (b/2)2, die vormfaktor is (x+(b/2))2. (U kan hierdie situasie ondervind wanneer u die vierkant voltooi.)
- Onthou dat a0 = 0 (die eienskap van die produk van nul).
