3 maniere om algebraïese uitdrukkings te vereenvoudig

2024 Outeur: Jason Gerald | [email protected]. Laas verander: 2024-01-15 08:08

Om te leer hoe om algebraïese uitdrukkings te vereenvoudig, is een van die sleutels om basiese algebra te bemeester en die nuttigste hulpmiddel wat enige wiskundige moet hê. Met vereenvoudiging kan wiskundiges komplekse, lang en/of vreemde uitdrukkings omskakel in eenvoudiger of makliker ekwivalente uitdrukkings. Basiese vereenvoudigingsvaardighede is baie maklik om aan te leer - selfs vir diegene wat wiskunde haat. Deur 'n paar eenvoudige stappe te volg, is dit moontlik om baie van die algemeenste tipes algebraïese uitdrukkings te vereenvoudig, sonder om spesiale kennis van wiskunde te gebruik. Kyk na stap 1 om aan die gang te kom!

Stap

Verstaan belangrike konsepte

Stap 1. Groepeer terme volgens hul veranderlikes en magte

In algebra het soortgelyke terme dieselfde veranderlike opset, met dieselfde krag. Met ander woorde, vir twee terme om gelyk te wees, moet hulle dieselfde veranderlike of glad nie veranderlike hê nie, en elke veranderlike het dieselfde krag of geen eksponent nie. Die volgorde van die veranderlikes in terme is nie belangrik nie.

Byvoorbeeld, 3x² en 4x² is soortgelyke terme omdat hulle albei 'n veranderlike x het met die krag van die vierkant. Maar x en x² is nie soos terme nie, want elke term het 'n veranderlike x met 'n ander krag. Byna dieselfde, -3yx en 5xz is nie dieselfde terme nie, want elke term het 'n ander veranderlike.

Stap 2. Faktor deur die getal as die produk van die twee faktore te skryf

Factoring is die konsep om 'n gegewe getal neer te skryf as die produk van twee faktore wat vermenigvuldig word. Getalle kan meer as een stel faktore hê - 12 kan byvoorbeeld verkry word uit 1 × 12, 2 × 6 en 3 × 4, so ons kan sê dat 1, 2, 3, 4, 6 en 12 faktore is van 12 'n Ander manier om dit voor te stel, is dat die faktore van 'n getal die getalle is wat die getal in geheel verdeel.

• As ons byvoorbeeld faktor 20 wil hê, kan ons dit skryf as 4 × 5.
• Let daarop dat veranderlike terme ook in berekening gebring kan word. -20x kan byvoorbeeld geskryf word as 4 (5x).
• Aantalle kan nie in berekening gebring word nie, omdat hulle slegs deur hulself en 1 gedeel kan word.

Stap 3. Gebruik die akroniem KaPaK BoTaK om die volgorde van bewerkings te onthou

Soms word die bewerking in die vergelyking eenvoudig opgelos deur 'n uitdrukking te vereenvoudig totdat dit nie meer werkbaar is nie. In hierdie gevalle is dit baie belangrik om die volgorde van bewerkings te onthou, sodat geen rekenkundige foute voorkom nie. Die akroniem KaPaK BoTaK sal u help om die volgorde van bewerkings te onthou - die letters dui die tipe operasies aan wat u moet uitvoer, in die volgorde:

• Kmisluk
• Bllig
• Kali
• Bweer
• Tbyvoeg
• Kgarnale

Metode 1 van 3: Gelyk terme saam

Stap 1. Skryf jou vergelyking neer

Die eenvoudigste algebraïese vergelykings, wat slegs 'n paar veranderlike terme met heelgetalkoëffisiënte en geen breuke, wortels, ensovoorts behels, kan dikwels in enkele stappe opgelos word. Vir die meeste wiskundige probleme is die eerste stap om u vergelyking te vereenvoudig, dit neer te skryf!

As 'n voorbeeldprobleem, gebruik ons die uitdrukking vir die volgende paar stappe 1 + 2x - 3 + 4x.

Stap 2. Identifiseer soortgelyke stamme

Soek dan dieselfde terme in u vergelyking. Onthou dat dieselfde terme dieselfde veranderlike en eksponent het.

Laat ons byvoorbeeld dieselfde terme in ons vergelyking 1 + 2x - 3 + 4x identifiseer. 2x en 4x het albei dieselfde veranderlike met dieselfde krag (in hierdie geval het x geen eksponent nie). Ook 1 en -3 is soortgelyke terme omdat hulle geen veranderlikes het nie. Dus in ons vergelyking, 2x en 4x en 1 en -3 is soortgelyke stamme.

Stap 3. Kombineer soortgelyke terme

Noudat u soortgelyke terme geïdentifiseer het, kan u dit kombineer om u vergelyking te vereenvoudig. Voeg die terme by (of trek af in die geval van negatiewe terme) om die stel terme met dieselfde veranderlike en eksponent tot een gelyke term te verminder.

• Kom ons voeg soortgelyke terme by in ons voorbeeld.

  • 2x + 4x = 6x
  • 1 + -3 = - 2

Stap 4. Skep 'n eenvoudiger vergelyking uit die vereenvoudigde terme

Nadat u u soortgelyke terme gekombineer het, maak 'n vergelyking uit die nuwe, kleiner stel terme. U kry 'n eenvoudiger vergelyking met een term vir die verskillende stelle veranderlikes en kragte in die oorspronklike vergelyking. Hierdie nuwe vergelyking is gelykstaande aan die oorspronklike vergelyking.

In ons voorbeeld is ons vereenvoudigde terme 6x en -2, so ons nuwe vergelyking is 6x - 2. Hierdie eenvoudige vergelyking is gelykstaande aan die oorspronklike (1 + 2x - 3 + 4x), maar korter en makliker om mee te werk. Dit is ook makliker om te faktoriseer, waarna ons hieronder sal kyk, wat nog 'n belangrike vereenvoudigingsvaardigheid is.

Stap 5. Volg die volgorde van bewerkings by die kombinasie van soortgelyke terme

In baie eenvoudige vergelykings soos die waarmee ons in die voorbeeldprobleem hierbo gewerk het, is dit maklik om dieselfde terme te identifiseer. In meer komplekse vergelykings, soos uitdrukkings wat parentetiese terme, breuke en wortels insluit, is terme wat gekombineer kan word egter nie duidelik sigbaar nie. Volg in hierdie gevalle die volgorde van bewerkings en voer bewerkings uit volgens die terme in u uitdrukking indien nodig totdat die optel- en aftrekbewerkings oorbly.

• Byvoorbeeld, laat ons die vergelyking 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x gebruik. Dit sou verkeerd wees om onmiddellik 3x en 2x as dieselfde terme te beskou en dit te kombineer, want die hakies in die uitdrukking dui aan dat ons eers ander bewerkings moet doen. Eerstens voer ons rekenkundige bewerkings uit op die uitdrukking in die volgorde van bewerkings om terme te kry wat ons kan gebruik. Sien die volgende:

  • 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x (x) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x² + 8 - 3x. Aangesien die enigste oorblywende bewerkings optelling en aftrekking is, kan ons dieselfde terme kombineer.
  • x² + (15x - 3x) + (8 - 5)
  • x² + 12x + 3

Metode 2 van 3: Factoring

Stap 1. Identifiseer die grootste gemeenskaplike faktor in die uitdrukking

Factoring is 'n manier om 'n uitdrukking te vereenvoudig deur die faktore wat in dieselfde terme in die uitdrukking dieselfde is, te verwyder. Om te begin, vind die grootste gemeenskaplike faktor wat al die terme het - met ander woorde die grootste getal wat al die terme in die uitdrukking geheel verdeel.

• Kom ons gebruik die 9x. Vergelyking² + 27x - 3. Let op dat elke term in hierdie vergelyking deelbaar is met 3. Aangesien die terme nie met 'n groter getal deelbaar is nie, kan ons sê dat

  Stap 3. is ons grootste gemeenskaplike faktor.

Stap 2. Deel die terme in die uitdrukking deur die grootste gemene faktor

Deel dan elke term in u vergelyking met die grootste gemeenskaplike faktor wat u pas gevind het. Die kwosiëntterme het 'n kleiner koëffisiënt as die oorspronklike vergelyking.

• Kom ons bereken ons vergelyking met die grootste gemene faktor, 3. Om dit te kan doen, deel ons elke term met 3.

  • 9x²/3 = 3x²
  • 27x/3 = 9x
  • -3/3 = -1
  • Ons nuwe uitdrukking is dus 3x² + 9x - 1.

Stap 3. Skryf jou uitdrukking as die produk van die grootste gemene faktor vermenigvuldig met die oorblywende terme

U nuwe uitdrukking is nie gelykstaande aan u oorspronklike uitdrukking nie, dus sou dit verkeerd wees om te sê dat die uitdrukking vereenvoudig is. Om ons nuwe uitdrukking gelyk te maak aan die oorspronklike, moet ons die feit insluit dat ons uitdrukking gedeel is deur die grootste gemeenskaplike faktor. Sluit u nuwe uitdrukking tussen hakies in en skryf die grootste gemene faktor van die oorspronklike vergelyking as die uitdrukkingskoëffisiënt tussen hakies.

Vir ons voorbeeldvergelyking, 3x² + 9x - 1, kan ons die uitdrukking tussen hakies omsluit en dit vermenigvuldig met die grootste gemeenskaplike faktor van die oorspronklike vergelyking om te kry 3 (3x² + 9x - 1). Hierdie vergelyking is gelykstaande aan die oorspronklike vergelyking, 9x² +27x - 3.

Stap 4. Gebruik factoring om breuke te vereenvoudig

U wonder miskien nou waarom factoring gebruik word, as die nuwe uitdrukking, selfs nadat die grootste gemeenskaplike faktor verwyder is, weer met daardie faktor vermenigvuldig moet word. Faktoring stel wiskundiges in staat om verskillende truuks uit te voer om uitdrukkings te vereenvoudig. Een van sy maklikste truuks trek voordeel uit die feit dat vermenigvuldiging van die teller en noemer van 'n breuk met dieselfde getal ekwivalente breuke kan oplewer. Sien die volgende:

• Sê ons aanvanklike voorbeelduitdrukking, 9x² + 27x - 3, is die kwantifiseerder van die groter breuk met 3 as die teller. Die breuk sal so lyk: (9x² + 27x - 3)/3. Ons kan factoring gebruik om breuke te vereenvoudig.

  • Kom ons vervang die factoringvorm van ons oorspronklike uitdrukking deur die uitdrukking in die teller: (3 (3x² + 9x - 1))/3
  • Let op dat beide die teller en die noemer 'n koëffisiënt van 3. het deur die teller en noemer met 3 te deel, kry ons: (3x² + 9x - 1)/1.
  • Aangesien enige breuk met 'n noemer van 1 gelykstaande is aan die terme in die teller, kan ons sê dat ons aanvanklike breuk vereenvoudig kan word tot 3x² + 9x - 1.

Metode 3 van 3: Toepassing van bykomende vereenvoudigingsvaardighede

Stap 1. Vereenvoudig breuke deur te deel deur dieselfde faktore

Soos hierbo genoem, kan die faktore in die breuk heeltemal weggelaat word as die teller en die noemer van 'n vergelyking dieselfde faktore het. Soms is dit nodig om die teller, die noemer of albei in ag te neem (soos in die voorbeeld hierbo), terwyl dieselfde faktore soms duidelik is. Let daarop dat dit ook moontlik is om die terme van die teller een vir een deur die vergelyking in die noemer te deel om 'n eenvoudige uitdrukking te kry.

• Kom ons werk aan 'n voorbeeld wat nie uitrekening vereis nie. Vir breuke (5x² + 10x + 20)/10, ons kan elke term in die teller deur 10 deel om dit te vereenvoudig, selfs al is die koëffisiënt 5 in 5x² is nie groter as 10 nie en dus is 10 nie 'n faktor nie.

  As ons dit doen, kry ons ((5x²)/10) + x + 2. As ons wou, kon ons die eerste term herskryf as (1/2) x² dus kry ons (1/2) x² +x+2.

Stap 2. Gebruik die kwadraatfaktore om die wortels te vereenvoudig

Die uitdrukking onder die wortelteken word die worteluitdrukking genoem. Hierdie uitdrukking kan vereenvoudig word deur die kwadraatfaktore (faktore wat kwadrate van heelgetalle is) te identifiseer en die vierkantswortelbewerking afsonderlik uit te voer om dit onder die vierkantswortelteken te verwyder.

• Kom ons doen 'n eenvoudige voorbeeld - (90). As ons aan 90 dink as die produk van sy twee faktore, 9 en 10, kan ons die vierkantswortel van 9, wat die heelgetal 3 is, neem en dit van die radikale teken verwyder. Met ander woorde:

  • √(90)
  • √(9 × 10)
  • (√(9) × √(10))
  • 3 × √(10)
  • 3√(10)

Stap 3. Voeg eksponente by wanneer twee eksponente vermenigvuldig word; trek af by deling

Sommige algebraïese uitdrukkings vereis vermenigvuldiging of verdeling van kragterme. In plaas daarvan om elke eksponent met die hand te bereken of te verdeel, tel die eksponente by die vermenigvuldiging en trek af wanneer u dit deel om tyd te bespaar. Hierdie konsep kan ook gebruik word om veranderlike uitdrukkings te vereenvoudig.

• Byvoorbeeld, laat ons die uitdrukking 6x gebruik³ × 8x⁴ + (x¹⁷/x¹⁵). In elk geval waar vermenigvuldiging of deling van eksponente benodig word, sal ons onderskeidelik eksponente aftrek of optel om die eenvoudige term vinnig te vind. Sien die volgende:

  • 6x³ × 8x⁴ + (x¹⁷/x¹⁵)
  • (6 × 8) x^{3 + 4} + (x^{17 - 15})
  • 48x⁷ +x²

• Vir 'n verduideliking van hoe dit werk, sien hieronder:

  • Die vermenigvuldiging van terme in eksponente is eintlik soos om terme te vermenigvuldig, nie in lang eksponente nie. Byvoorbeeld, omdat x³ = x × x × x en x ⁵ = x × x × x × x × x, x³ × x⁵ = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), of x⁸.
  • Byna dieselfde is die verdeling van eksponente soos om terme te verdeel, nie lang eksponente nie. x⁵/x³ = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Aangesien elke term in die teller deurgetrek kan word deur dieselfde term in die noemer te vind, is daar slegs twee x's in die teller en niks meer onderaan nie, wat die antwoord x gee².

Wenke

• Onthou altyd dat u hierdie getalle moet voorstel as positiewe en negatiewe tekens. Baie mense stop om te dink watter teken moet ek hier plaas?
• Vra hulp as u dit nodig het!
• Dit is nie maklik om algebraïese uitdrukkings te vereenvoudig nie, maar sodra u dit verstaan, sal u dit die res van u lewe gebruik.

Waarskuwing

• Soek altyd soortgelyke stamme en moenie mislei word deur rang nie.
• Maak seker dat u nie getalle, bevoegdhede of bewerkings byvoeg wat per ongeluk moet plaasvind nie.