'N Polinoom bevat 'n veranderlike (x) met 'n krag, bekend as 'n graad, en verskeie terme en/of konstantes. Om 'n polinoom te faktoriseer, beteken om die vergelyking in eenvoudiger vergelykings te verdeel wat vermenigvuldig kan word. Hierdie vaardigheid is in Algebra 1 en hoër, en dit kan moeilik wees om dit te begryp as u wiskundige vaardighede nie op hierdie vlak is nie.
Stap
Begin
Stap 1. Stel jou vergelyking op
Die standaardformaat vir 'n kwadratiese vergelyking is:
byl2 + bx + c = 0
Begin deur die terme in u vergelyking van die hoogste na die laagste krag te rangskik, net soos in hierdie standaardformaat. Byvoorbeeld:
6 + 6x2 + 13x = 0
Ons sal hierdie vergelyking herrangskik sodat dit makliker is om mee te werk deur eenvoudig die terme te skuif:
6x2 + 13x + 6 = 0
Stap 2. Vind die vormfaktor deur een van die volgende metodes te gebruik
Faktorisering van die polinoom lei tot twee eenvoudiger vergelykings wat vermenigvuldig kan word om die oorspronklike polinoom te produseer:
6x2 + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
In hierdie voorbeeld is (2x + 3) en (3x + 2) die faktore van die oorspronklike vergelyking, 6x2 +13x+6.
Stap 3. Gaan u werk na
Vermenigvuldig die faktore wat u het. Kombineer dan dieselfde terme en jy is klaar. Begin met:
(2x + 3) (3x + 2)
Kom ons probeer om die terme te vermenigvuldig met PLDT (eerste - buite - binne - laaste), wat lei tot:
6x2 + 4x + 9x + 6
Van hier af kan ons 4x en 9x optel omdat dit terme is. Ons weet dat ons faktore korrek is omdat ons ons oorspronklike vergelyking kry:
6x2 + 13x + 6
Metode 1 van 6: Proef en fout
As u 'n redelik eenvoudige polinoom het, kan u self die faktore vind deur net daarna te kyk. Byvoorbeeld, na oefening kan baie wiskundiges agterkom dat die vergelyking 4x2 + 4x + 1 het 'n faktor van (2x + 1) en (2x + 1) deur net gereeld daarna te kyk. (Dit sal natuurlik nie maklik wees vir ingewikkelder polinoom nie). Kom ons gebruik 'n vergelyking wat minder gereeld gebruik word in hierdie voorbeeld:
3x2 + 2x - 8
Stap 1. Skryf 'n lys van die faktore van term a en term c
Gebruik die bylvergelykingformaat2 + bx + c = 0, identifiseer die terme a en c en skryf die faktore neer wat beide terme het. Vir 3x2 + 2x - 8, wat beteken:
a = 3 en het 'n stel faktore: 1 * 3
c = -8 en het vier stelle faktore: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 en -1 * 8.
Stap 2. Skryf twee stelle hakies met leë spasies neer
U vul die spasies wat u gemaak het met konstantes vir elke vergelyking in:
(x) (x)
Stap 3. Vul die spasies voor x in met die moontlike pare faktore vir die waarde van a
Vir die term a in ons voorbeeld, 3x2Daar is slegs een moontlikheid vir ons voorbeeld:
(3x) (1x)
Stap 4. Vul die twee spasies na x in met pare faktore vir die konstante
Gestel ons kies 8 en 1. Skryf daarin:
(3x
Stap 8.)(
Stap 1
Stap 5. Bepaal die teken (plus of min) tussen die veranderlike x en die getal
Afhangende van die tekens in die oorspronklike vergelyking, kan dit moontlik wees om na tekens vir konstantes te soek. Gestel ons noem die twee konstantes h en k vir ons twee faktore:
As byl2 + bx + c dan (x + h) (x + k)
As byl2 - bx - c of byl2 + bx - c dan (x - h) (x + k)
As byl2 - bx + c dan (x - h) (x - k)
Vir ons voorbeeld, 3x2 + 2x - 8, die tekens is: (x - h) (x + k), wat ons twee faktore gee:
(3x + 8) en (x - 1)
Stap 6. Toets u keuses met behulp van eerste-uit-in-laaste vermenigvuldiging (PLDT)
Die eerste vinnige toets is om te sien of die middeltermyn ten minste die korrekte waarde het. Indien nie, het u moontlik die verkeerde c -faktore gekies. Kom ons toets ons antwoord:
(3x + 8) (x - 1)
Deur vermenigvuldiging kry ons:
3x2 - 3x + 8x - 8
As ons hierdie vergelyking vereenvoudig deur die soortgelyke terme (-3x) en (8x) by te voeg, kry ons:
3x2 - 3x + 8x - 8 = 3x2 + 5x - 8
Nou weet ons dat ons die verkeerde faktore moes gebruik het:
3x2 + 5x - 8 3x2 + 2x - 8
Stap 7. Verander u keuse indien nodig
In ons voorbeeld, probeer 2 en 4 in plaas van 1 en 8:
(3x + 2) (x - 4)
Nou is ons c -term -8, maar ons buite-/binne -produk (3x * -4) en (2 * x) is -12x en 2x, wat gesamentlik nie die korrekte b +2x -term lewer nie.
-12x + 2x = 10x
10x 2x
Stap 8. Omkeer die bestelling indien nodig
Kom ons probeer om 2 en 4 te ruil:
(3x + 4) (x - 2)
Ons c -term (4 * 2 = 8) is korrek, maar die buitenste/binneste produk is -6x en 4x. As ons dit kombineer:
-6x + 4x = 2x
2x -2x Ons is redelik naby aan 2x wat ons soek, maar die teken is verkeerd.
Stap 9. Kontroleer u etikette indien nodig
Ons sal dieselfde volgorde gebruik, maar ruil die vergelykings met die minteken uit:
(3x - 4) (x + 2)
Die term c is geen probleem nie, en die huidige buitenste/innerlike produk is (6x) en (-4x). Omdat:
6x - 4x = 2x
2x = 2x Nou kan ons positiewe 2x uit die oorspronklike probleem gebruik. Dit moet die korrekte faktore wees.
Metode 2 van 6: Ontbinding
Hierdie metode identifiseer al die moontlike faktore van die terme a en c en gebruik dit om die korrekte faktore te vind. As die getalle te groot is of raai tydrowend is, gebruik hierdie metode. Kom ons gebruik 'n voorbeeld:
6x2 + 13x + 6
Stap 1. Vermenigvuldig term a met term c
In hierdie voorbeeld is a 6 en c is ook 6.
6 * 6 = 36
Stap 2. Kry die term b deur faktorisering en toetsing
Ons soek twee getalle wat die faktore van die produk a * c is wat ons geïdentifiseer het, en tel ook die term b (13) op.
4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Stap 3. Vervang die twee getalle wat u in u vergelyking kry as gevolg van die byvoeging van term b
Kom ons gebruik k en h om die twee getalle wat ons het, 4 en 9 voor te stel:
byl2 + kx + hx + c
6x2 + 4x + 9x + 6
Stap 4. Faktoreer die polinoom deur te groepeer
Rangskik die vergelykings sodat u die grootste gemene faktor van die eerste en die tweede term kan gebruik. Die groep faktore moet dieselfde wees. Voeg die grootste gemeenskaplike faktor by en plaas dit tussen hakies langs die faktorgroep; die resultaat is u twee faktore:
6x2 + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)
Metode 3 van 6: Triple Play
Soortgelyk aan die ontbindingsmetode, ondersoek die triple play -metode die moontlike faktore om die terme a en c te vermenigvuldig en die waarde van b te gebruik. Probeer hierdie voorbeeldvergelyking gebruik:
8x2 + 10x + 2
Stap 1. Vermenigvuldig term a met term c
Net soos die ontledingsmetode, sal dit ons help om kandidate vir kwartaal b te identifiseer. In hierdie voorbeeld is a 8 en c is 2.
8 * 2 = 16
Stap 2. Soek twee getalle wat, as dit met getalle vermenigvuldig word, hierdie getal produseer met 'n totale som gelyk aan die term b
Hierdie stap is dieselfde as ontleding - ons toets en gooi kandidate vir die konstante weg. Die produk van die terme a en c is 16, en die term c is 10:
2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Stap 3. Neem hierdie twee getalle en toets dit deur dit in die driedubbele spelformule te koppel
Neem ons twee getalle uit die vorige stap - kom ons noem dit h en k - en koppel dit aan die vergelyking:
((ax + h) (ax + k))/ a
Ons kry:
((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Stap 4. Let op of een van die twee terme in die teller deelbaar is met a
In hierdie voorbeeld het ons gesien of (8x + 8) of (8x + 2) deelbaar is met 8. (8x + 8) deelbaar is met 8, dus deel ons hierdie term met a en laat die ander faktore met rus.
(8x + 8) = 8 (x + 1)
Die term tussen hakies hier is wat oorgebly het nadat ons gedeel het deur die term a.
Stap 5. Neem die grootste gemene faktor (GCF) van een of albei terme, indien enige
In hierdie voorbeeld, die tweede term, het 'n GCF van 2, want 8x + 2 = 2 (4x + 1). Kombineer hierdie resultaat met die term wat u uit die vorige stap gekry het. Dit is die faktore in u vergelyking.
2 (x + 1) (4x + 1)
Metode 4 van 6: Verskil van vierkantswortels
Sommige koëffisiënte in polinome kan 'vierkante' wees, of die produk van twee getalle. Deur hierdie vierkante te identifiseer, kan u veelvuldige polinome vinniger bereken. Probeer hierdie vergelyking:
27x2 - 12 = 0
Stap 1. Haal indien moontlik die grootste gemene faktor uit
In hierdie geval kan ons sien dat 27 en 12 deelbaar is deur 3, sodat ons kry:
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4)
Stap 2. Identifiseer of die koëffisiënte van u vergelyking vierkante getalle is
Om hierdie metode te gebruik, moet u die vierkantswortel van beide terme kan neem. (Let daarop dat ons die negatiewe teken sal ignoreer - omdat hierdie getalle vierkante is, kan dit die produk wees van twee positiewe of negatiewe getalle)
9x2 = 3x * 3x en 4 = 2 * 2
Stap 3. Gebruik die vierkantswortel wat jy gekry het, en skryf die faktore neer
Ons neem die waardes van a en c van ons stap hierbo - a = 9 en c = 4, en vind dan die vierkantswortel - a = 3 en c = 2. Die resultaat is die koëffisiënt van die faktorvergelyking:
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
Metode 5 van 6: Kwadratiese formule
As alles anders misluk en die vergelyking nie heeltemal in berekening gebring kan word nie, gebruik die kwadratiese formule. Probeer hierdie voorbeeld:
x2 + 4x + 1 = 0
Stap 1. Voer die vereiste waardes in die kwadratiese formule in:
x = -b ± (b2 - 4ac)
2a
Ons kry die vergelyking:
x = -4 ± (42 - 4•1•1) / 2
Stap 2. Vind die waarde van x
U kry twee waardes. Soos hierbo getoon, kry ons twee antwoorde:
x = -2 + (3) of x = -2 -(3)
Stap 3. Gebruik jou x-waarde om die faktore te vind
Koppel die x -waardes wat u gekry het, aan die twee polinoomvergelykings as konstantes. Die resultaat is u faktore. As ons ons antwoorde h en k noem, skryf ons die twee faktore soos volg neer:
(x - h) (x - k)
In hierdie voorbeeld is ons finale antwoord:
(x - (-2 + (3)) (x - (-2 - (3)) = (x + 2 - (3)) (x + 2 + (3))
Metode 6 van 6: Die gebruik van die sakrekenaar
As u 'n sakrekenaar mag gebruik, maak 'n grafiese sakrekenaar die faktoriseringsproses baie makliker, veral vir gestandaardiseerde toetse. Hierdie instruksies is vir die TI grafiese sakrekenaar. Ons sal 'n voorbeeldvergelyking gebruik:
y = x2 x 2
Stap 1. Voer u vergelyking in die sakrekenaar in
U gebruik die faktorisering van die vergelyking, wat [Y =] op die skerm geskryf is.
Stap 2. Skets u vergelyking met u sakrekenaar
As u u vergelyking ingevoer het, druk [GRAFIEK] - u sal 'n gladde kromme sien wat u vergelyking voorstel (en die vorm is 'n kromme omdat ons polinoom gebruik).
Stap 3. Vind die plek waar die kromme met die x-as sny
Aangesien polinoomvergelykings gewoonlik as byl geskryf word2 + bx + c = 0, hierdie kruising is die tweede waarde van x wat veroorsaak dat die vergelyking nul is:
(-1, 0), (2, 0)
x = -1, x = 2
As u nie kan identifiseer waar die grafiek met die x-as kruis deur daarna te kyk nie, druk [2] en dan [TRACE]. Druk [2] of kies nul. Beweeg die wyser links van die kruising en druk op [ENTER]. Beweeg die wyser regs van die kruising en druk op [ENTER]. Beweeg die wyser so na as moontlik aan die kruising en druk op [ENTER]. Die sakrekenaar vind die waarde van x. Doen dit ook vir die ander kruisings
Stap 4. Koppel die x -waarde wat uit die vorige stap verkry is, in die twee faktoriaalvergelyking
As ons albei ons x -waardes h en k noem, is die vergelykings wat ons sou gebruik:
(x - h) (x - k) = 0
Ons twee faktore is dus:
(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)
Wenke
- As u 'n TI-84 sakrekenaar (grafiek) het, is daar 'n program genaamd SOLVER wat u kwadratiese vergelykings kan oplos. Hierdie program sal polinome van enige graad oplos.
- As 'n term nie geskryf word nie, is die koëffisiënt 0. Dit is handig om die vergelyking te herskryf as dit die geval is, byvoorbeeld: x2 + 6 = x2 +0x+6.
- As u u polinoom met 'n kwadratiese formule in berekening gebring het en die antwoord in terme van wortels gekry het, wil u die waarde van x omskakel na 'n breuk om te kontroleer.
- As 'n term geen geskrewe koëffisiënt het nie, is die koëffisiënt 1, byvoorbeeld: x2 = 1x2.
- Na genoeg oefening sal u uiteindelik polinome in u kop kan faktoriseer. Maak seker dat u altyd die instruksies neerskryf totdat u dit kan doen.
