3 maniere om 'n driehoek te bereken

2024 Outeur: Jason Gerald | [email protected]. Laas verander: 2024-01-15 08:08

'N Trinoom is 'n algebraïese uitdrukking wat uit drie terme bestaan. Heel waarskynlik begin u leer hoe om 'n kwadratiese trinoom te faktoriseer, wat beteken 'n trinoom wat in die vorm byl geskryf is² + bx + c. Daar is 'n paar truuks om te leer, wat gebruik kan word vir baie verskillende soorte kwadratiese trinome, maar u kan dit beter en vinniger met oefening gebruik. Polinoom van hoër orde, met terme soos x³ of x⁴, kan nie altyd op dieselfde manier opgelos word nie, maar u kan dikwels eenvoudige factoring of vervanging gebruik om dit te omskep in 'n probleem wat soos enige ander kwadratiese formule opgelos kan word.

Stap

Metode 1 van 3: Factoring x² + bx + c

Stap 1. Leer PLDT -vermenigvuldiging

U het moontlik geleer hoe om PLDT te vermenigvuldig, of "Eerstens, buite, in, laaste" om uitdrukkings soos (x+2) (x+4) te vermenigvuldig. Dit is handig om te weet hoe hierdie vermenigvuldiging werk voordat ons 'n faktor neem:

• Vermenigvuldig die stamme Eerstens: (x+2)(x+4) = x² + _

• Vermenigvuldig die stamme Buite: (x+2) (x+

  Stap 4.) = x²+ 4x + _

• Vermenigvuldig die stamme In: (x+

  Stap 2.)(x+4) = x²+4x+ 2x + _

• Vermenigvuldig die stamme Finale: (x+

  Stap 2.) (x

  Stap 4.) = x²+4x+2x

  Stap 8.

• Vereenvoudig: x²+4x+2x+8 = x²+6x+8

Stap 2. Verstaan factoring

As u twee binome vermenigvuldig met die PLDT -metode, kry u 'n trinoom ('n uitdrukking met drie terme) in die vorm a²+ b x+ c, waar a, b en c gewone getalle is. As u met 'n vergelyking begin wat dieselfde vorm het, kan u dit in twee binome verdeel.

• As die vergelykings nie in hierdie volgorde geskryf is nie, herrangskik die vergelykings sodat hulle hierdie volgorde het. Skryf byvoorbeeld oor 3x - 10 + x² Word x² + 3x - 10.
• Omdat die hoogste krag 2 is (x², word hierdie tipe uitdrukking kwadraties genoem.

Stap 3. Laat 'n leë spasie vir die antwoord in die vorm van PLDT -vermenigvuldiging

Vir eers, skryf net (_ _)(_ _) waar jy die antwoord sal skryf. Ons sal dit vul terwyl ons daaraan werk

Moenie + of - tussen die leë terme skryf nie, want ons ken nog nie die regte teken nie

Stap 4. Vul die eerste terme in

Vir eenvoudige probleme is die eerste term van u trinoom slegs x², die terme in die eerste posisie is altyd x en x. Dit is die faktore van die term x² omdat x keer x = x².

• Ons voorbeeld x² + 3x - 10 begin met x², sodat ons kan skryf:
• (x _) (x _)
• Ons werk in die volgende afdeling aan meer komplekse probleme, insluitend trinome wat begin met terme soos 6x² of -x². Volg intussen hierdie voorbeeldvrae.

Stap 5. Gebruik factoring om die Laaste terme te raai

As u teruggaan en die stappe lees vir die vermenigvuldiging van PLDT, sal u sien dat die vermenigvuldiging van die laaste terme die laaste term in die polinoom sal oplewer (terme wat nie x het nie). Om te faktoriseer, moet ons twee getalle vind wat by vermenigvuldiging die laaste term sal lewer.

• In ons voorbeeld x² + 3x - 10, die laaste kwartaal is -10.
• Wat is die faktore van -10? Watter getal word vermenigvuldig met -10?
• Daar is verskeie moontlikhede: -1 keer 10, 1 keer -10, -2 keer 5 of 2 keer -5. Skryf hierdie pare êrens neer om dit te onthou.
• Moenie ons antwoord nog verander nie. Ons antwoord behoort nog steeds so te lyk: (x _) (x _).

Stap 6. Toets die moontlikhede wat by die buitenste en innerlike produk pas

Ons het die Laaste terme tot 'n paar moontlikhede beperk. Gebruik die proefstelsel om elke moontlikheid te toets, vermenigvuldig die uiterlike en innerlike terme en vergelyk die produk met ons trinoom. Byvoorbeeld:

• Ons oorspronklike probleem het die term "x" by 3x gehad, dus moet ons toetsuitslae by hierdie term pas.
• Toetse -1 en 10: (x -1) (x+10). Buite + Binne = 10x - x = 9x. Verkeerde.
• Toetse 1 en -10: (x+1) (x -10). -10x + x = -9x. Dis verkeerd. As u -1 en 10 toets, sal u vind dat 1 en -10 die teenoorgestelde is van die antwoord hierbo: -9x in plaas van 9x.
• Toetse -2 en 5: (x -2) (x+5). 5x - 2x = 3x. Die resultaat stem ooreen met die aanvanklike polinoom, so hier is die korrekte antwoord: (x-2) (x+5).
• In eenvoudige gevalle soos hierdie, as u nie 'n konstante het voor die term x nie², u kan die vinnige manier gebruik: tel die twee faktore op en sit 'n "x" daaragter (-2+5 → 3x). Hierdie metode werk egter nie vir meer komplekse probleme nie, dus is dit beter om die 'lang pad' wat hierbo beskryf is, te onthou.

Metode 2 van 3: Faktorisering van meer komplekse trinome

Stap 1. Gebruik eenvoudige factoring om meer komplekse probleme eenvoudiger te maak

Byvoorbeeld, jy moet faktoriseer 3x² + 9x - 30. Soek 'n getal wat al drie terme ("grootste gemene faktor" of GCF) kan faktoriseer. In hierdie geval is die GCF 3:

• 3x² = (3) (x²)
• 9x = (3) (3x)
• -30 = (3)(-10)
• Dus, 3x² + 9x - 30 = (3) (x²+3x-10). Ons kan die nuwe trinoom uitreken deur die stappe in die afdeling hierbo te gebruik. Ons finale antwoord sal wees (3) (x-2) (x+5).

Stap 2. Soek meer kompliserende faktore

Soms kan die faktorisering 'n veranderlike behels, of u moet 'n paar keer faktoriseer om die eenvoudigste uitdrukking te vind. Hier is 'n paar voorbeelde:

• 2x²y + 14xy + 24y = (2 jaar)(x² + 7x + 12)
• x⁴ + 11x³ - 26x² = (x²)(x² +11x - 26)
• -x² + 6x - 9 = (-1)(x² - 6x + 9)
• Moenie vergeet om die nuwe trinoom te herfaktoreer deur die stappe in metode 1 te gebruik nie. Gaan u werk na en kyk na voorbeelde van soortgelyke probleme in die voorbeeldvrae onderaan hierdie bladsy.

Stap 3. Los probleme op met 'n getal voor x².

Sommige kwadratiese trinome kan nie tot die maklikste tipe probleem verminder word nie. Leer hoe om probleme soos 3x op te los² + 10x + 8, oefen dan alleen met die voorbeeldvrae onderaan hierdie bladsy:

• Stel ons antwoord as volg: (_ _)(_ _)
• Ons "Eerste" terme sal elk een x hê, en dit vermenigvuldig gee 3x². Daar is slegs een moontlikheid: (3x _) (x _).
• Lys die faktore van 8. Die kans is 1 keer 8 of 2 keer 4.
• Toets hierdie moontlikheid deur die uiterlike en innerlike terme te gebruik. Let daarop dat die volgorde van die faktore baie belangrik is omdat die uiterlike term met 3x vermenigvuldig word in plaas van x. Probeer elke moontlikheid totdat u Out+In = 10x kry (van die oorspronklike probleem):
• (3x+1) (x+8) → 24x+x = 25x geen
• (3x+8) (x+1) → 3x+8x = 11x geen
• (3x+2) (x+4) → 12x+2x = 14x geen
• (3x+4) (x+2) → 6x+4x = 10x ja. Dit is die korrekte faktor.

Stap 4. Gebruik substitusie vir hoër orde trinome

Jou wiskundeboek kan jou verras met vergelykings met hoë magte, soos x⁴, selfs nadat u eenvoudige faktorisering gebruik het om die probleem makliker te maak. Probeer om 'n nuwe veranderlike te vervang wat dit verander in 'n probleem wat u kan oplos. Byvoorbeeld:

• x⁵+13x³+36x
• = (x) (x⁴+13x²+36)
• Kom ons skep 'n nuwe veranderlike. Kom ons sê y = x² en sit daarin:
• (x) (y²+13y+36)
• = (x) (y+9) (y+4). Skakel dit nou terug na die aanvanklike veranderlike:
• = (x) (x²+9) (x²+4)
• = (x) (x ± 3) (x ± 2)

Metode 3 van 3: Faktorering van spesiale gevalle

Stap 1. Soek priemgetalle

Kyk of die konstante in die eerste of derde term van die trinoom 'n priemgetal is. 'N priemgetal is slegs op sigself deelbaar en 1, dus is daar slegs een moontlike paar binomiale faktore.

• Byvoorbeeld, in x² + 6x + 5, 5 is 'n priemgetal, dus moet die binominale vorm (_ 5) (_ 1) wees.
• In die probleem van 3x²+10x+8, 3 is 'n priemgetal, dus moet die binominale vorm (3x _) (x _) wees.
• Vir vrae 3x²+4x+1, beide 3 en 1 is priemgetalle, dus die enigste moontlike oplossing is (3x+1) (x+1). (U moet hierdie getal steeds vermenigvuldig om u antwoord te kontroleer, want sommige uitdrukkings kan glad nie in berekening gebring word nie - byvoorbeeld 3x²+100x+1 het geen faktor nie.)

Stap 2. Vind uit of die trinoom 'n perfekte vierkant is

'N Perfekte vierkantige driehoek kan in twee identiese binome verdeel word, en die faktor word gewoonlik as (x+1) geskryf² en nie (x+1) (x+1). Hier is 'n paar voorbeelde wat gewoonlik in vrae verskyn:

• x²+2x+1 = (x+1)², en x²-2x+1 = (x-1)²
• x²+4x+4 = (x+2)², en x²-4x+4 = (x-2)²
• x²+6x+9 = (x+3)², en x²-6x+9 = (x-3)²
• Perfekte vierkantige driehoek in die vorm a² + bx + c het altyd terme a en c wat positiewe volmaakte vierkante is (soos 1, 4, 9, 16 of 25) en een term b (positief of negatief) wat gelyk is aan 2 (√a * √c).

Stap 3. Vind uit of 'n probleem geen oplossing het nie

Nie alle trinome kan in berekening gebring word nie. As u nie 'n kwadratiese trinoom kan bepaal nie (byl²+bx+c), gebruik die kwadratiese formule om die antwoord te vind. As die enigste antwoord die vierkantswortel van 'n negatiewe getal is, is daar geen reële getaloplossing nie, dan het die probleem geen faktore nie.

Gebruik die Eisenstein-kriterium vir nie-vierkante trinome, wat in die wenke-afdeling beskryf word

Antwoorde en voorbeeldvrae

1. Antwoorde op 'ingewikkelde factoring' -vrae.

   Dit is vrae uit die stap "meer ingewikkelde faktore". Ons het die probleme in eenvoudiger vergemaklik, dus probeer dit oplos met behulp van die stappe in metode 1, en kyk dan na u werk hier:

   • (2y) (x² + 7x + 12) = (x+3) (x+4)
   • (x²) (x² + 11x - 26) = (x+13) (x-2)
   • (-1) (x² -6x + 9) = (x-3) (x-3) = (x-3)²

2. Probeer meer ingewikkelde factoringprobleme.

   Hierdie probleme het dieselfde faktor in elke kwartaal wat eers in berekening gebring moet word. Blokkeer die spasies na die gelykteken om die antwoorde te sien, sodat u u werk kan nagaan:

   • 3x³+3x²-6x = (3x) (x+2) (x-1) blokkeer die leegte om die antwoord te sien
   • -5x³y²+30x²y²-25j²x = (-5xy^2) (x-5) (x-1)

3. Oefen die gebruik van vrae. Hierdie probleme kan nie in makliker vergelykings verdeel word nie, dus moet u die antwoord in die vorm (_x + _) (_ x + _) vind deur gebruik te maak van trial and error:

   • 2x²+3x-5 = (2x+5) (x-1) blok om die antwoord te sien
   • 9x²+6x+1 = (3x+1) (3x+1) = (3x+1)² (Wenk: u wil meer as een faktorpaar vir 9x probeer.)

   Wenke

   • As u nie kan uitvind hoe om 'n kwadratiese trinoom te faktoriseer nie (byl²+bx+c), kan u die kwadratiese formule gebruik om x te vind.

   • Alhoewel u nie hoef te weet hoe u dit moet doen nie, kan u die Eisenstein -kriteria gebruik om vinnig vas te stel of 'n polinoom nie vereenvoudig en in berekening gebring kan word nie. Hierdie maatstaf is van toepassing op enige polinoom, maar word die beste gebruik vir trinome. As daar 'n priemgetal p is wat die laaste twee terme eweredig verdeel en aan die volgende voorwaardes voldoen, kan die polinoom nie vereenvoudig word nie:

     • Konstante terme (sonder veranderlikes) is veelvoude van p maar nie veelvoude van p nie².
     • Die voorvoegsel (byvoorbeeld a in byl²+bx+c) is nie 'n veelvoud van p.
     • Byvoorbeeld, 14x² +45x +51 kan nie vereenvoudig word nie, want daar is 'n priemgetal (3) wat deelbaar is met 45 en 51, maar nie deelbaar met 14 nie, en 51 is nie deelbaar met 3 nie².

   Waarskuwing

   Alhoewel dit geld vir kwadratiese trinome, is die trinoom wat in berekening gebring moet word nie noodwendig die produk van twee binome nie. Byvoorbeeld, x⁴ + 105x + 46 = (x² + 5x + 2) (x² - 5x + 23).