Die wortelvorm is 'n algebraïese stelling wat die teken van die vierkantswortel (of kubuswortel of hoër) het. Hierdie vorm kan dikwels twee getalle voorstel wat dieselfde waarde het, al lyk dit met die eerste oogopslag anders (byvoorbeeld 1/(sqrt (2) - 1) = sqrt (2) +1). Daarom benodig ons 'n 'standaardformule' vir hierdie soort vorm. As daar twee stellings in die standaardformule is, wat anders lyk, is dit nie dieselfde nie. Wiskundiges stem saam dat die standaardformulering van die kwadratiese vorm aan die volgende vereistes voldoen:
- Vermy die gebruik van breuke
- Moenie fraksionele kragte gebruik nie
- Vermy die gebruik van die wortelvorm in die noemer
- Bevat nie die vermenigvuldiging van twee wortelvorme nie
- Getalle onder die wortel kan nie meer gewortel word nie
Een praktiese gebruik hiervan is in meervoudigekeuse -eksamens. As u 'n antwoord vind, maar u antwoord nie dieselfde is as die beskikbare opsies nie, probeer om dit te vereenvoudig tot 'n standaardformule. Aangesien vraestelle gewoonlik antwoorde in standaardformules skryf, moet u dieselfde met u antwoorde doen om by hulle antwoorde te pas. In opstelvrae beteken opdragte soos 'vereenvoudig u antwoord' of 'vereenvoudig alle wortels' dat studente die volgende stappe moet uitvoer totdat hulle aan die standaardformule soos hierbo voldoen. Hierdie stap kan ook gebruik word om vergelykings op te los, hoewel sommige tipes vergelykings makliker is om op te los in nie-standaardformules.
Stap
Stap 1. Hersien, indien nodig, die reëls vir die werking van wortels en eksponente (albei is gelyk - wortels is magte van breuke) soos ons dit benodig in hierdie proses
Hersien ook die reëls vir die vereenvoudiging van polinome en rasionele vorms, aangesien ons dit sal moet vereenvoudig.
Metode 1 van 6: Perfekte vierkante
Stap 1. Vereenvoudig alle wortels wat perfekte vierkante bevat
'N Volmaakte vierkant is die produk van 'n getal op sigself, byvoorbeeld 81, wat 'n produk is van 9 x 9. Om 'n volmaakte vierkant te vereenvoudig, verwyder net die vierkantswortel en skryf die vierkantswortel van die getal neer.
- Byvoorbeeld, 121 is 'n perfekte vierkant omdat 11 x 11 gelyk is aan 121. U kan dus die wortel (121) tot 11 vereenvoudig deur die wortelteken te verwyder.
- Om hierdie stap makliker te maak, moet u die eerste twaalf perfekte vierkante onthou: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144
Stap 2. Vereenvoudig alle wortels wat perfekte blokkies bevat
'N Volmaakte kubus is die resultaat van die vermenigvuldiging van 'n getal twee keer self, byvoorbeeld 27, wat die produk is van 3 x 3 x 3. Om die wortelvorm van 'n volmaakte kubus te vereenvoudig, verwyder net die vierkantswortel en skryf die vierkantswortel neer van die nommer.
Byvoorbeeld, 343 is 'n perfekte kubus, want dit is die produk van 7 x 7 x 7. Die kubuswortel van 343 is dus 7
Metode 2 van 6: Omskakeling van breuke in wortels
Of andersom (dit help soms), maar moenie dit in dieselfde stelling as root (5) + 5^(3/2) meng nie. Ons neem aan dat u die wortelvorm wil gebruik en ons sal die simbole wortel (n) vir die vierkantswortel en sqrt^3 (n) vir die kubuswortel gebruik.
Stap 1. Neem een na die krag van die breuk en omskep dit in die wortelvorm, byvoorbeeld x^(a/b) = wortel in die b -krag van x^a
As die vierkantswortel in breukvorm is, verander dit in gewone vorm. Byvoorbeeld, vierkantswortel (2/3) van 4 = wortel (4)^3 = 2^3 = 8
Stap 2. Skakel negatiewe eksponente om in breuke, byvoorbeeld x^-y = 1/x^y
Hierdie formule is slegs van toepassing op konstante en rasionele eksponente. As u met 'n vorm soos 2^x te doen het, moet u dit nie verander nie, selfs al dui die probleem aan dat x 'n breuk of 'n negatiewe getal kan wees
Stap 3. Voeg dieselfde stam saam en vereenvoudig die gevolglike rasionele vorm.
Metode 3 van 6: Elimineer breuke in wortels
Die standaardformule vereis dat die wortel 'n heelgetal is.
Stap 1. Kyk na die getal onder die vierkantswortel as dit nog 'n breuk bevat
Indien nog,…
Stap 2. Verander na 'n breuk bestaande uit twee wortels met behulp van die identiteitswortel (a/b) = sqrt (a)/sqrt (b)
Moenie hierdie identiteit gebruik as die noemer negatief is nie, of as dit 'n veranderlike is wat negatief kan wees. Vereenvoudig in hierdie geval eers die breuk
Stap 3. Vereenvoudig elke perfekte vierkant van die resultaat
Dit wil sê, skakel sqrt (5/4) om na sqrt (5)/sqrt (4), en vereenvoudig dit dan na sqrt (5)/2.
Stap 4. Gebruik ander vereenvoudigingsmetodes, soos die vereenvoudiging van komplekse breuke, die kombinasie van gelyke terme, ens
Metode 4 van 6: Kombinasie van vermenigvuldigingwortels
Stap 1. As u een wortelvorm met 'n ander vermenigvuldig, kombineer die twee in een vierkantswortel volgens die formule:
sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab). Verander byvoorbeeld wortel (2)*wortel (6) in wortel (12).
- Die identiteit hierbo, sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab), is geldig as die getal onder die teken van die sqrt nie negatief is nie. Moenie hierdie formule gebruik as a en b negatief is nie, want u maak die fout om sqrt (-1)*sqrt (-1) = sqrt (1) te maak. Die stelling aan die linkerkant is gelyk aan -1 (of ongedefinieerd as u nie komplekse getalle gebruik nie) terwyl die stelling regs +1 is. As a en/of b negatief is, verander die teken eers soos sqrt (-5) = i*sqrt (5). As die vorm onder die wortelteken 'n veranderlike is waarvan die teken onbekend is uit die konteks of positief of negatief kan wees, laat dit vir eers soos dit is. U kan die meer algemene identiteit gebruik, sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (sgn (a))*sqrt (sgn (b))*sqrt (| ab |) wat van toepassing is op alle reële getalle a en b, maar gewoonlik help hierdie formule nie veel nie, omdat dit kompleksiteit toevoeg tot die gebruik van die sgn (signum) -funksie.
- Hierdie identiteit is slegs geldig as die vorms van die wortels dieselfde eksponent het. U kan verskillende vierkantswortels vermenigvuldig, soos sqrt (5)*sqrt^3 (7) deur dit na dieselfde vierkantswortel om te skakel. Om dit te doen, skakel die vierkantswortel tydelik om in 'n breuk: sqrt (5) * sqrt^3 (7) = 5^(1/2) * 7^(1/3) = 5^(3/6) * 7 ^(2/6) = 125^(1/6) * 49^(1/6). Gebruik dan die vermenigvuldigingsreël om die twee te vermenigvuldig met die vierkantswortel van 6125.
Metode 5 van 6: Die verwydering van die vierkantfaktor uit die wortel
Stap 1. Om onvolmaakte wortels in primêre faktore in te deel
'N Faktor is 'n getal wat by vermenigvuldiging met 'n ander getal 'n getal vorm - byvoorbeeld, 5 en 4 is twee faktore van 20. Om onvolmaakte wortels af te breek, skryf al die faktore van die getal neer (of soveel as moontlik, as die getal is te groot) totdat u 'n perfekte vierkant gevind het.
Probeer byvoorbeeld om al die faktore van 45: 1, 3, 5, 9, 15 en 45 te vind. 9 is 'n faktor van 45 en is ook 'n perfekte vierkant (9 = 3^2). 9 x 5 = 45
Stap 2. Verwyder alle vermenigvuldigers wat perfekte vierkante is binne die vierkantswortel
9 is 'n perfekte vierkant, want dit is die produk van 3 x 3. Haal die 9 uit die vierkantswortel en vervang dit met 3 voor die vierkantswortel, en laat 5 binne die vierkantswortel. As jy 3 terug in die vierkantswortel sit, vermenigvuldig dit self om 9 te maak, en as jy met 5 vermenigvuldig, gee dit 45 terug. 3 wortels van 5 is 'n eenvoudige manier om die wortel van 45 uit te druk.
Dit wil sê, sqrt (45) = sqrt (9*5) = sqrt (9)*sqrt (5) = 3*sqrt (5)
Stap 3. Vind die perfekte vierkant in die veranderlike
Die vierkantswortel van 'n kwadraat is | a |. U kan dit vereenvoudig tot net 'a' as die bekende veranderlike positief is. Die vierkantswortel van a tot die krag van 3 wanneer dit afgebreek word tot die vierkantswortel van 'n kwadraat maal a - onthou dat die eksponente optel as ons twee getalle vermenigvuldig met die krag van a, dus 'n kwadraat is a gelyk aan a derde krag.
Daarom is 'n perfekte vierkant in die vorm van 'n blokkie 'n kwadraat
Stap 4. Verwyder die veranderlike met die perfekte vierkant van die vierkantswortel
Neem nou 'n kwadraat van die vierkantswortel en verander dit in | a |. Die eenvoudige vorm van die wortel a met die krag van 3 is | a | wortel a.
Stap 5. Kombineer die gelyke terme en vereenvoudig al die wortels van die berekeningsresultate
Metode 6 van 6: Rasionaliseer die Noemer
Stap 1. Die standaardformule vereis dat die noemer soveel as moontlik 'n heelgetal (of 'n polinoom as dit 'n veranderlike bevat) is
-
As die noemer uit een term onder die wortelteken bestaan, soos […]/root (5), vermenigvuldig beide die teller en noemer met die wortel om […]*sqrt (5)/sqrt (5)*sqrt te kry (5) = […]*wortel (5)/5.
Vir kubuswortels of hoër, vermenigvuldig met die toepaslike wortel sodat die noemer rasioneel is. As die noemer wortel^3 (5) is, vermenigvuldig die teller en noemer met sqrt^3 (5)^2
-
As die noemer bestaan uit die optel of aftrek van twee vierkantswortels soos sqrt (2) + sqrt (6), vermenigvuldig die kwantifiseerder en noemer met hul gekonjugeerde, wat dieselfde vorm het, maar met die teenoorgestelde teken. Dan […]/(wortel (2) + wortel (6)) = […] (wortel (2) -wortel (6))/(wortel (2) + wortel (6)) (wortel (2) -wortel (6)). Gebruik dan die identiteitsformule vir die verskil van twee vierkante [(a + b) (ab) = a^2-b^2] om die noemer te rasionaliseer, om te vereenvoudig (sqrt (2) + sqrt (6)) (sqrt (2) -sqrt (6)) = sqrt (2)^2 -sqrt (6)^2 = 2-6 = -4.
- Dit geld ook vir noemers soos 5 + sqrt (3) omdat alle heelgetalle wortels van ander heelgetalle is. [1/(5 + sqrt (3)) = (5-sqrt (3))/(5 + sqrt (3)) (5-sqrt (3)) = (5-sqrt (3))/(5^ 2-sqrt (3)^2) = (5-sqrt (3))/(25-3) = (5-sqrt (3))/22]
- Hierdie metode is ook van toepassing op die toevoeging van wortels soos sqrt (5) -sqrt (6)+sqrt (7). As u dit groepeer in (sqrt (5) -sqrt (6))+sqrt (7) en vermenigvuldig met (sqrt (5) -sqrt (6))-sqrt (7), is die antwoord nie in rasionele vorm nie, maar nog steeds in a+b*wortel (30) waar a en b reeds rasionale getalle is. Herhaal dan die proses met die gekonjugeerde a+b*sqrt (30) en (a+b*sqrt (30)) (a-b*sqrt (30)) sal rasioneel wees. In wese, as u hierdie truuk kan gebruik om een wortelteken in die noemer te verwyder, kan u dit baie keer herhaal om al die wortels te verwyder.
- Hierdie metode kan ook gebruik word vir noemers wat 'n hoër wortel bevat, soos die vierde wortel van 3 of die sewende wortel van 9. Vermenigvuldig die teller en noemer met die vervoeging van die noemer. Ongelukkig kan ons nie die vervoeging van die noemer direk kry nie, en dit is moeilik om dit te doen. Ons kan die antwoord vind in 'n algebra -boek oor getalleteorie, maar ek sal nie daarop ingaan nie.
Stap 2. Nou is die noemer in rasionele vorm, maar die teller lyk deurmekaar
Al wat u hoef te doen is om dit te vermenigvuldig met die vervoeging van die noemer. Gaan voort en vermenigvuldig soos ons polinome sou vermenigvuldig. Kyk of enige terme uitgelaat, vereenvoudig of gekombineer kan word, indien moontlik.
Stap 3. As die noemer 'n negatiewe heelgetal is, vermenigvuldig beide die teller en die noemer met -1 om dit positief te maak
Wenke
- U kan aanlyn soek na webwerwe wat wortelvorms kan vereenvoudig. Tik net die vergelyking met die wortelteken, en nadat u op Enter gedruk het, verskyn die antwoord.
- Vir eenvoudiger vrae mag u nie al die stappe in hierdie artikel gebruik nie. Vir meer ingewikkelde vrae moet u moontlik meer as een keer verskeie stappe volg. Gebruik die 'eenvoudige' stappe 'n paar keer en kyk of u antwoord voldoen aan die standaard formuleringskriteria wat ons vroeër bespreek het. As u antwoord in die standaardformule is, is u klaar; maar indien nie, kan u een van die bogenoemde stappe nagaan om u te help.
- Die meeste verwysings na die 'aanbevole standaardformule' vir die vorm van wortels is ook van toepassing op komplekse getalle (i = root (-1)). Selfs as 'n stelling 'n "i" in plaas van 'n wortel bevat, vermy noemers wat steeds 'n i bevat.
- Sommige van die instruksies in hierdie artikel neem aan dat alle wortels vierkante is. Dieselfde algemene beginsels geld vir die wortels van hoër magte, hoewel sommige dele (veral die rasionalisering van die noemer) redelik moeilik kan wees om mee te werk. Besluit self watter vorm u wil hê, soos sqr^3 (4) of sqr^3 (2)^2. (Ek kan nie onthou watter vorm gewoonlik in handboeke voorgestel word nie).
- Sommige van die instruksies in hierdie artikel gebruik die woord 'standaardformule' om 'gewone vorm' te beskryf. Die verskil is dat die standaardformule slegs die vorm 1+sqrt (2) of sqrt (2) +1 aanvaar en die ander vorms as nie-standaard beskou; Gewone vorm veronderstel dat u, die leser, slim genoeg is om die 'ooreenkoms' van hierdie twee getalle te sien, alhoewel hulle nie skriftelik identies is nie ('dieselfde' beteken in hul rekenkundige eienskap (kommutatiewe optelling), nie hul algebraïese eienskap nie (wortel (2) is die wortel nie-negatief van x^2-2)). Ons hoop dat die lesers die geringe nalatigheid in die gebruik van hierdie terminologie sal verstaan.
- As een van die leidrade dubbelsinnig of teenstrydig lyk, doen al die stappe wat ondubbelsinnig en konsekwent is, en kies dan die vorm wat u verkies.
