Snelheid word gedefinieer as die snelheid van 'n voorwerp in 'n sekere rigting. In baie situasies, om snelheid te bepaal, kan ons die vergelyking v = s/t gebruik, waar v gelyk is aan snelheid, s gelyk is aan die totale afstand wat die voorwerp van sy oorspronklike posisie beweeg het, en t is gelyk aan tyd. Hierdie metode gee egter slegs die "gemiddelde" snelheidswaarde van die voorwerp oor sy verplasing. Met behulp van berekening kan u die snelheid van 'n voorwerp op enige punt langs die verplasing bereken. Hierdie waarde word die "kitsnelheid" genoem en kan deur die vergelyking bereken word v = (ds)/(dt), of, met ander woorde, is die afgeleide van die vergelyking vir die gemiddelde snelheid van die voorwerp.
Stap
Metode 1 van 3: Berekening van oombliklike snelheid
Stap 1. Begin met die vergelyking vir die snelheid van die verplasing van die voorwerp
Om die waarde van die oombliklike snelheid van 'n voorwerp te kry, moet ons eers 'n vergelyking hê wat sy posisie (in terme van sy verplasing) op 'n gegewe tydstip beskryf. Dit beteken dat die vergelyking 'n veranderlike moet hê s (wat alleen staan) aan die een kant, en t aan die ander kant (maar nie noodwendig selfstandig nie), soos volg:
s = -1,5t2+10t+4
-
In die vergelyking is die veranderlikes:
-
-
Verplasing = s. Dit is die afstand wat die voorwerp afgelê het vanaf sy beginpunt. Byvoorbeeld, as 'n voorwerp 10 meter vorentoe en 7 meter terug beweeg, dan is die totale afstand wat afgelê is 10 - 7 = 3 meter (nie 10 + 7 = 17 meter).
-
Tyd = t. Hierdie veranderlike is vanselfsprekend. Gewoonlik uitgedruk in sekondes. # Neem die afgeleide van die vergelyking. Die afgeleide van 'n vergelyking is 'n ander vergelyking wat die hellingwaarde vanaf 'n sekere punt kan gee. Om die afgeleide van die formule vir die verplasing van 'n voorwerp te vind, lei die funksie af volgens die volgende algemene reël: As y = a*x, Afgeleide = a*n*xn-1. Hierdie reël is van toepassing op enige komponent wat aan die "t" kant van die vergelyking is.
Bereken onmiddellike snelheid Stap 2
-
-
- Met ander woorde, begin deur die "t" kant van die vergelyking van links na regs af te daal. Telkens as u die "t" -waarde bereik, trek 1 af van die eksponentwaarde en vermenigvuldig die geheel met die oorspronklike eksponent. Enige konstantes (veranderlikes wat nie 't' bevat nie) gaan verlore omdat dit met 0. vermenigvuldig word. Hierdie proses is nie so moeilik as wat 'n mens dink nie, laat ons die vergelyking in die stap hierbo aflei as 'n voorbeeld:
s = -1,5t2+10t+4
(2) -1,5t(2-1)+ (1) 10t1 - 1 + (0) 4t0
-3t1 + 10t0
- 3t + 10
Stap 2. Vervang die veranderlike "s" met "ds/dt
"Om aan te toon dat u nuwe vergelyking die afgeleide van die vorige vergelyking is, vervang" s "met" ds/dt ". Tegnies beteken hierdie notasie" afgeleide van s ten opsigte van t. "'N Eenvoudiger manier om dit te verstaan, is dat ds /dt is die waarde van die helling (helling) op enige punt in die eerste vergelyking, byvoorbeeld om die helling van 'n lyn wat uit die vergelyking getrek is, te bepaal s = -1.5t2 + 10t + 4 by t = 5, ons kan die waarde "5" in die afgeleide vergelyking koppel.
- In die gebruikte voorbeeld sou die eerste afgeleide vergelyking nou so lyk:
ds/sek = -3t + 10
Stap 3. Koppel die waarde van t in die nuwe vergelyking om die oombliklike snelheidswaarde te kry
Noudat u die afgeleide vergelyking het, is dit maklik om die onmiddellike snelheid op enige tydstip te bepaal. Al wat u hoef te doen is om 'n waarde vir t te kies en dit by u afgeleide vergelyking in te sluit. As u byvoorbeeld die oombliklike snelheid by t = 5 wil vind, kan u die waarde van t vervang met "5" in die afgeleide vergelyking ds/dt = -3 + 10. Los dan die vergelyking soos volg op:
ds/sek = -3t + 10
ds/sek = -3 (5) + 10
ds/sek = -15 + 10 = - 5 meter/sekonde
Let daarop dat die eenheid hierbo "meter/sekonde" is. Omdat ons verplasing in meter en tyd in sekondes (sekondes) en snelheid in die algemeen verplasing binne 'n sekere tyd is, is hierdie eenheid geskik om te gebruik
Metode 2 van 3: Grafiese skatting van oombliklike snelheid
Stap 1. Teken 'n grafiek van die voorwerp se verplasing oor tyd
In die afdeling hierbo word die afgeleide genoem as die formule vir die vind van die helling op 'n gegewe punt vir die vergelyking wat u aflei. Trouens, as u 'n voorwerp se verplasing as 'n lyn op 'n grafiek voorstel, "is die helling van die lyn op alle punte gelyk aan die waarde van sy oombliklike snelheid op daardie punt."
- Om die verplasing van 'n voorwerp te beskryf, gebruik x om tyd voor te stel en y om verplasing voor te stel. Trek dan die punte en steek die waarde van t in u vergelyking, en kry dus die waarde van s vir u grafiek, merk t, s in die grafiek as (x, y).
- Let daarop dat u grafiek onder die x-as kan strek. As die lyn wat die beweging van u voorwerp voorstel, onder die x-as kom, beteken dit dat die voorwerp van sy beginposisie agteruit beweeg het. Oor die algemeen bereik u grafiek nie die agterkant van die y -as nie - omdat ons nie die snelheid meet van 'n voorwerp wat verby beweeg nie!
Stap 2. Kies 'n aangrensende punt P en Q in die reël
Om die helling van die lyn by 'n punt P te kry, kan ons 'n truuk gebruik wat die limiet neem. Om die limiet te neem, behels twee punte (P en Q, 'n punt naby) op die geboë lyn en die helling van die lyn te vind deur dit baie keer te verbind totdat die afstande P en Q nader kom.
Gestel die verplasinglyn van die voorwerp bevat die waardes (1, 3) en (4, 7). In hierdie geval, as ons die helling by die punt (1, 3) wil vind, kan ons bepaal (1, 3) = Bl en (4, 7) = Q.
Stap 3. Vind die helling tussen P en Q
Die helling tussen P en Q is die verskil in y waardes vir P en Q langs die x-as waardeverskil vir P en Q. Met ander woorde, H = (yV - yBl)/(xV - xBl), waar H die helling tussen die twee punte is. In ons voorbeeld is die waarde van die helling tussen P en Q
H = (yV- yBl)/(xV- xBl)
H = (7 - 3)/(4 - 1)
H = (4)/(3) = 1.33
Stap 4. Herhaal verskeie kere, beweeg Q nader aan P
U doel is om die afstand tussen P en Q te verminder om soos 'n punt te lyk. Hoe nader die afstand tussen P en Q, hoe nader die helling van die lyn by punt P. Doen dit verskeie kere met die vergelyking wat as voorbeeld gebruik word deur punte (2, 4.8), (1.5, 3.95) en (1.25, 3.49) as Q en die beginpunt (1, 3) as P:
Q = (2, 4.8):
H = (4.8 - 3)/(2 - 1)
H = (1.8)/(1) = 1.8
Q = (1.5, 3.95):
H = (3,95 - 3)/(1,5 - 1)
H = (.95)/(. 5) = 1.9
Q = (1.25, 3.49):
H = (3,49 - 3)/(1,25 - 1)
H = (.49)/(.. 25) = 1.96
Stap 5. Skat die helling van die lyn vir 'n baie klein afstand
Namate Q nader aan P kom, kom H al hoe nader aan die waarde van die helling van die punt P. Uiteindelik, wanneer dit 'n baie klein waarde bereik, is H gelyk aan die helling van P. Aangesien ons nie baie klein afstande kan meet of bereken nie, ons kan die helling op P slegs skat nadat dit duidelik is vanaf die punt wat ons probeer.
- In die voorbeeld, as ons Q nader aan P beweeg, kry ons waardes van 1.8, 1.9 en 1.96 vir H. Aangesien hierdie getalle naby 2 is, kan ons sê dat 2 die benaderde helling van P. is.
- Onthou dat die helling op enige gegewe punt op die lyn gelyk is aan die afgeleide van die lynvergelyking. Aangesien die gebruikte lyn die verplasing van 'n voorwerp met verloop van tyd toon, en omdat, soos ons in die vorige afdeling gesien het, die oombliklike snelheid van 'n voorwerp die afgeleide is van die verplasing daarvan op 'n gegewe punt, kan ons ook sê dat "2 meter/sekonde "is die benaderde waarde van die momentane snelheid by t = 1.
Metode 3 van 3: Voorbeeldvrae
Stap 1. Bepaal die waarde van die momentane snelheid by t = 4, uit die verplasingsvergelyking s = 5t3 - 3 t2 +2t+9.
Hierdie probleem is dieselfde as die voorbeeld in die eerste deel, behalwe dat hierdie vergelyking 'n kubusvergelyking is, nie 'n kragvergelyking nie, sodat ons hierdie probleem op dieselfde manier kan oplos.
- Eerstens neem ons die afgeleide van die vergelyking:
- Voer dan die waarde van t (4) in:
s = 5t3- 3 t2+2t+9
s = (3) 5t(3 - 1) - (2) 3t(2 - 1) + (1) 2t(1 - 1) + (0) 9t0 - 1
15t(2) - 6 t(1) + 2 t(0)
15t(2) - 6t + 2
s = 15t(2)- 6t + 2
15(4)(2)- 6(4) + 2
15(16) - 6(4) + 2
240 - 24 + 2 = 22 meter/sekonde
Stap 2. Gebruik 'n grafiese skatting om die oombliklike snelheid by (1, 3) vir die verplasingsvergelyking s = 4t te vind2 - t.
Vir hierdie probleem sal ons (1, 3) as die punt P gebruik, maar ons moet 'n ander punt langs die punt definieer as die punt Q. Dan moet ons net die waarde van H bepaal en 'n skatting maak.
- Soek eers die waarde van Q by t = 2, 1.5, 1.1 en 1.01.
- Bepaal dan die waarde van H:
- Aangesien die waarde van H baie naby 7 is, kan ons dit sê 7 meter/sekondeis die geskatte oombliklike snelheid by (1, 3).
s = 4t2- t
t = 2:
s = 4 (2)2- (2)
4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, so Q = (2, 14)
t = 1,5:
s = 4 (1,5)2 - (1.5)
4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, so Q = (1.5, 7.5)
t = 1.1:
s = 4 (1.1)2 - (1.1)
4 (1.21) - 1.1 = 4.84 - 1.1 = 3.74, so Q = (1.1, 3.74)
t = 1,01:
s = 4 (1,01)2 - (1.01)
4 (1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, so Q = (1.01, 3.0704)
Q = (2, 14):
H = (14 - 3)/(2 - 1)
H = (11)/(1) =
Stap 11.
Q = (1.5, 7.5):
H = (7,5 - 3)/(1,5 - 1)
H = (4.5)/(. 5) =
Stap 9.
Q = (1.1, 3.74):
H = (3,74 - 3)/(1,1 - 1)
H = (.74)/(. 1) = 7.3
Q = (1.01, 3.0704):
H = (3.0704 - 3)/(1.01 - 1)
H = (.0704)/(. 01) = 7.04
Wenke
- Om die waarde van versnelling (verandering in snelheid met verloop van tyd) te bepaal, gebruik die metode in die eerste afdeling om die vergelyking vir die afgeleide van die verplasingfunksie te kry. Skep dan weer die afgeleide vergelyking, hierdie keer uit u afgeleide vergelyking. Dit gee u die vergelyking om die versnelling op 'n gegewe tydstip te vind; u hoef net u tydwaarde in te voer.
- Die vergelyking wat die waarde van Y (verplasing) met X (tyd) in verband bring, kan baie eenvoudig wees, byvoorbeeld Y = 6x + 3. In hierdie geval is die hellingwaarde konstant, en dit is nie nodig om die afgeleide te vind om dit te bereken nie, waar volgens die vergelyking van 'n reguit lyn, Y = mx + b gelyk is aan 6.
- Verplasing is soortgelyk aan afstand, maar het 'n rigting, dus is verplasing 'n vektorhoeveelheid, terwyl afstand 'n skalêre hoeveelheid is. Die verplasingwaarde kan negatief wees, maar die afstand sal altyd positief wees.
